Vollständige Induktion. Ungleichung: (4n/3) - 1 ≥ ∑ 1/(3)^k n∈N

Question

Habt ihr eine Lösung für die vollständige Induktion bei diesem Beispiel???

Es wäre mir sehr geholfen.

                  n

(4n/3) - 1 ≥ ∑ 1/(3)^k       n∈N

                 k=1

Comments

Sind die Summenformeln für endliche geometrische Reihen bekannt?

Answer 1

Da fehlt etwas. Schau nochmal nach. Guck was unter bzw. über Delta steht.

Comments

Wo siehst du ein Delta?, also $$\delta \text{ oder } \Delta$$ Das Summenzeichen ist ein großes Sigma.

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Tut mir leid. Mein Fehler. zD

Answer 2

                  n

(4n/3) - 1 ≥ ∑ 1/(3)^k       n∈N

                 k=1

Verankerung n= 1

4/3 - 1 ≥ 1/3            |richtig!

Indunktionsschritt: n --> n+1

Indvoraussetzung: 

                  n

(4n/3) - 1 ≥ ∑ 1/(3)^k       n∈N

                 k=1

Ind.behauptung

                             n+1

(4(n+1)/3) - 1 ≥ ∑ 1/(3)^k       n∈N

                            k=1

Beweis

Linke Seite von ≥

(4(n+1)/3) - 1 = 4n/3 + 4/3 -1

 

                            n+1

(4(n+1)/3) - 1 ?≥ ∑ 1/(3)^k       n∈N

                            k=1

 

rechte Seite von ≥ abschätzen:

                             n

                       ≥ ∑ 1/(3)^k        + 1/3^{n+1}           Ind. Voraussetzung einsetzen:

                            k=1

 

≤ (4n/3) - 1 + 1/3^{n+1} ≤ (4n/3) - 1 + 1/3 

<  (4n/3) -1 + 4/3 = 4(n+1)/3  - 1  qed.

Comments

Könntest du mir den Beweis erklären?

Und eine Frage: Muss ich bei Ungleichungen genauso rechnen, als ob dort ein "=" Zeichen stehen würde? Oder gibt es einen gravierenden Unterschied zum herkömmlichen Weg?

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 Muss ich bei Ungleichungen genauso rechnen, als ob dort ein "=" Zeichen stehen würde? Oder gibt es einen gravierenden Unterschied zum herkömmlichen Weg?

Bei ≤ kannst du Abschätzen. Es muss nicht genau gleich sein. Alle Ungleichheitszeichen einer Kette müssen aber in die gleiche Richtung schauen, damit du am Schluss eine Ungleichung zwischen dem Anfang und dem Ende der Kette gezeigt hast.

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Ich hab jetzt nochmal gerechnet und bei mir kommt heraus:

4(n+1)/3-1 ≥ 4n/3 -3/3 +1/(3^n+1)

4n/3 -1/3 ≥ 4n/3-1+1/(3^n+1)

-1/3≥-1+1/(3^n+1)

2/3≥1/ (3^n+1)


kann das stimmen??

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Ich glaube nicht: Du schreibst:

4(n+1)/3-1 ≥ 4n/3 -3/3 +1/(3ⁿ+1)

Woher kommt denn hier -3/3? ist das von -1?

Aber was ist denn 1/(3ⁿ+1)? Das ist sicher kleiner als 4/3 aber warum willst du das denn hier?

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ja genau, das kommt von -1. und ich habe gemeint: 1/(3^{n+1})

ergibt es so Sinn?