Komplexe Partialbruchzerlegung

Question

Man bestimme die Partialbruchzerlegung von $$ \frac { 2x}{ x^4-1 } $$

Die Nullstellen sind 1;-1;i;-i also lautet die Zerlegung (x-1)(x+1)(x+i)(x-i)

In Form gebracht 2x = A(x+1)(x+i)(x-i) + B(x-1)(x+i)(x-i) + C(x-1)(x+1)(x+i) + D(x-1)(x+1)(x-i)

x= 1 und x=-1 daraus folgt A = 1/2 und B=1/2

Setze ich jedoch i und -i ein kommt es nicht hin und die Aufgabe soll auf diese Weise gelöst werden.
Bsp i   2i = C(-2)(2i) bei mir kommt -1/2 raus, es soll aber -1 raus kommen und D=0


Wo liegt mein Fehler, bin schon am verzweifeln.

Answer 1

mußt Du das wirklich über die komplexe Rechnung lösen?

Ansonsten geht das über folgendem Ansatz :

2x/((x-1)(x+1)( x^2+1))= A/(x-1) +B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2 +1)

dann weiter mit der Einsetzmethode

Comments

Ja muss ich.
Diese Methode ist bei uns auch die gängige aber für diese Aufgabe sollen wir sie komplex lösen

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ja also nach "DEINER" Methode bekomme ich auch C=-1/2

K omplex lösen geht auch so, dann kommt das raus, was raus kommen soll.

Oder wie genau lautet die Aufgabenstellung wirklich?

Answer 2

2·x/(x^4 - 1)

2·x/((x + 1)·(x - 1)·(x^2 + 1)) = a/(x + 1) + b/(x - 1) + (cx+d)/(x^2 + 1)

2·x = a·(x - 1)·(x^2 + 1) + b·(x + 1)·(x^2 + 1) + (c·x + d)·(x + 1)·(x - 1)

x = 1 --> 2·1 = b·(1 + 1)·(1^2 + 1) --> b = 0.5

x = -1 --> 2·(-1) = a·((-1) - 1)·((-1)^2 + 1) --> a = 0.5

x = 0 --> 2·0 = 0.5·(0 - 1)·(0^2 + 1) + 0.5·(0 + 1)·(0^2 + 1) + (c·0 + d)·(0 + 1)·(0 - 1) --> d = 0

x = 2 --> 2·2 = 0.5·(2 - 1)·(2^2 + 1) + 0.5·(2 + 1)·(2^2 + 1) + (c·2 + 0)·(2 + 1)·(2 - 1) --> c = -1

2·x/(x^4 - 1) = 0.5/(x + 1) + 0.5/(x - 1) - 1·x/(x^2 + 1)

Den letzten Bruch könnte man jetzt auch noch Zerlegen.

2·x/(x^4 - 1) = 0.5/(x + 1) + 0.5/(x - 1) - 1·x/((x + i)·(x - i))