Komplexe Partialbruchzerlegung (Reelle und komplexe Nullstellen)

Question

ich würde gerne wissen, ob meine Rechnung stimmt;

Die Aufgabe lautet; f(x) = (2x^2+9x+12)/(x^2+6x+10)

Nullstellen vom Nenner: -3+i und -3-i, sind komplex.

Heißt das nun, dass meine Partialbruchzerlegung in R = 2 + (-3x-8) /(x^2+6x+10) ist?

(Quotient der Polynomdivision)

Und wenn ich die Zerlegung in C fortführe, komme ich auf;

(-3x-8) /(x^2+6x+10) = (c+dx)/(x^2+6x+10)     [ Mal Hauptnenner  ]

-3x-8 = dx+c

Somit muss c = -8

und                d = -3   sein?

Vielen Dank schon mal! :)

Answer 1

1.) Nullstellen vom Nenner: -3+i und -3-i, sind komplex. -------->richtig

2.)Heißt das nun, dass meine Partialbruchzerlegung in R = 2 + (-3x-8) /(x²+6x+10) ist?

(Quotient der Polynomdivision) --------->richtig

3.) Ansatz für die komplexe Partialbruchzerlegung:

(-3x-8)/((x+3+i)(x+3-i))= A/(x+3+i) +B/(x+3-i)

Comments

Aber ich dachte die Form " (c+dx)/(x²+6x+10) " ist für die komplexe Partialbruchzerlegung?Muss man das immer umschreiben? 

Das versteh ich leider nicht ganz, sorry..

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Wie lautet die genaue Aufgabenstellung ?

Soll das Integral überhaupt berechnet werden oder speziell mit komplexer Partialbruchzerlegung?

Das mit dem Ansatz, den Du meinst , geht so (Seite 10)

http://www.opt.math.tugraz.at/lehre/mat_ingmath/MI-W08/12.2%20Integration%20rationaler%20Funktionen.pdf

Diesen Ansatz kannst Du hier aber nicht anwenden .

Dieses Integral (-3x-8) /(x²+6x+10) kannst Du mittels 2 Methoden berechnen.

1)durch die komplexe Integration

2.) durch Aufspaltung in 2 Teilintegrale:

= -3/2 int ((2x+6)/(x^2+6x+10) +int (1/((x+3)^2 +1) dx

Für das 1. Integral gibt es ein spezielles Gesetz zur Lösung( siehe Tafelwerk oder Vorlesung)

Das 2. Integral löst Du über die quadratische Ergänzung und dann weiter mit der Substitution

z=x+3

Das läuft dann über das Arctan Integral hinaus(siehe Tafelwerk oder Vorlesung)

Das Ergebnis diese Integrales:

=-3/2 ln(x^2+6x+10) +arctan(x+3) +C

Aber bitte nicht das 2. Integral mit der 2 vergessen.