Wie lautet die genaue Aufgabenstellung ?
Soll das Integral überhaupt berechnet werden oder speziell mit komplexer Partialbruchzerlegung?
Das mit dem Ansatz, den Du meinst , geht so (Seite 10)
http://www.opt.math.tugraz.at/lehre/mat_ingmath/MI-W08/12.2%20Integration%20rationaler%20Funktionen.pdf
Diesen Ansatz kannst Du hier aber nicht anwenden .
Dieses Integral (-3x-8) /(x2+6x+10) kannst Du mittels 2 Methoden berechnen.
1)durch die komplexe Integration
2.) durch Aufspaltung in 2 Teilintegrale:
= -3/2 int ((2x+6)/(x^2+6x+10) +int (1/((x+3)^2 +1) dx
Für das 1. Integral gibt es ein spezielles Gesetz zur Lösung( siehe Tafelwerk oder Vorlesung)
Das 2. Integral löst Du über die quadratische Ergänzung und dann weiter mit der Substitution
z=x+3
Das läuft dann über das Arctan Integral hinaus(siehe Tafelwerk oder Vorlesung)
Das Ergebnis diese Integrales:
=-3/2 ln(x^2+6x+10) +arctan(x+3) +C
Aber bitte nicht das 2. Integral mit der 2 vergessen.