Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper und \( E_{i, j}:=\left(\delta_{i r} \cdot \delta_{j s}\right)_{1 \leq r, s \leq n} \in M_{n}(K) \), wobei \( \delta_{i j} \) das Kroneckersymbol ist.
a) Beweisen Sie formal:
\( E_{i, j} E_{k, l}=\delta_{j k} E_{i, l} \)
b) In einem Ring \( R \) sei für \( x, y, \in R \) der Kommutator von \( x \) und \( y \) definiert durch \( [x, y]:=x y-y x . \) Zeigen Sie
\( \left[E_{i, j}, E_{j, l}\right]=\left\{\begin{array}{lr} E_{i, l} & , \text { falls } i \neq l \\ E_{i, i}-E_{j, j} & , \text { falls } i=l \end{array}\right. \)
