Kommutator: Beweisen Sie...

Question

HELP! Wir haben heute in der Vorlesung folgendes durchgenommen (Kurzform):

Ein Kommutator zweier Matrizen ist definiert durch [A,B] = AB-BA.

Drei Matrizen E,F,H sind definiert durch [H,E] = 2E und [H,F] = -2F

Und dann haben wir folgende Festsstellung gehabt:

Sei v ein Eigenvektor von H mit Eigenwert $. Ist Ev ungleich 0, dann ist Ev ein Eigenvektor von H zum Eigenvektor $+2. ($ soll hierbei lambda sein).

Bis zur nächsten Vorlesung sollen wir uns überlegen, wie man das beweisen könnte. Leider habe ich überhaupt keine Ahnung, wie man da rangehen könnte.  Habt ihr iwelche Tipps?

Answer 1

Was wir zeigen wollen, ist ja:

Aus [H, E] = 2E, [H, F] = -2F und Hv = λv folgt H(Ev) = (λ+2)v

Dann formen wir folgendermaßen um:

H(Ev) = (HE)v

= ([H, E] + EH)v

= (2E + EH)v

= 2Ev + E(Hv)          | Hv = λv

= 2 Ev + λ Ev

= (2+λ) Ev

 

Also ist Ev Eigenwert von H zum Eigenwert λ+2.

Comments

Cool, danke! Da wäre ich im Leben nie drauf gekommen!

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In dieser Vorlesung gab es noch diese Überlegung, die man beweisen sollte!

Es gibt k,l >_ (größergleich) 0 mit (E^k)v = (F^l)v = 0

 

wie soll man das beweisen?

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Betrachte mal [H,E^k]
Mit der Produktregel für Kommutatoren kann man zeigen:
[H,E^k]=(2*k)*E^k     (Tipp: Vollständige Induktion)

Angenommen E^k != 0 für alle k,
Analog zu Teil a) folgt dann, dass E^k ein Eigenvektor von H zum Eigenwert (λ+2*k) ist.
=> man erhält abzählbar viele paarweise verschiedene Eigenwerte.
Und das liefert einen Widerspruch... (Ist klar warum?)

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Echt? Bei uns gab es diese 2. Überlegung nicht.

Aber gut zu wissen, vielleicht ist sowas ja mal Klausuraufgabe.