Dreieck mit maximalem Volumen in Kreis

Question

Aufgabe - Dreieck mit maximalem Volumen in Kreis:

Einem Kreis ist ein \( \delta \) mit \( A = max \) einzubeschreiben. Wie groß ist x?

Die Beschriftung muss übernommen werden.

Ansatz/Problem:

\( A^{2}=(r+x)^{2} \cdot y^{2} \)
\( y^{2}=r^{2}-x^{2} \)
\( A^{2}=(x+r)^{2}\left(r^{2}-x^{2}\right) \)
\( \left(x^{2}-2 x r+r^{2}\right)\left(r^{2}-x^{2}\right) \)

\( f = x^2 -2xr + r^2 \quad f' = 2x-2r \\ g = r^2 - x^2 \quad g' = -2x \)

\( (2x - 2r)(r^2 - x^2) + (x^2 - 2xr + r^2)(-2x) \)

\( 2xr^1 - 2r^2 - 2x^3 - 2x^2r - 2x^3 + 4x^2 r - 2xr^2 = 0 \)

\( -4x^3 - 2x^2 r - r^2 \)

Anders könnte ich das Beispiel lösen (wenn ich x und r gemeinsam als x bezeichnen dürfte). Aber hier muss die Beschriftung leider strikt eingehalten werden.

Comments

Wie soll denn das gehen , Volumen im Kreis ?

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Ich vermute es entsteht ein Gleichseitiges Dreieck

r = 2/3 * h

x = 1/3 * h

Dann ist x halb so groß wie r.

Das solltest du denke ich herausbekommen.

Answer 1

x^2 + y^2 = r^2 --> y = √(r^2 - x^2)

A = (r + x)·√(r^2 - x^2)

A^2 = (x + r)^2·(r^2 - x^2) = - x^4 - 2·r·x^3 + 2·r^3·x + r^4

(A^2)' = - 4·x^3 - 6·r·x^2 + 2·r^3 = 0 --> x = r/2

Vermutung Stimmt.

Comments

Wenn ich das mit der Lösungsformel berechne, komme ich auf:

[3r ± √(9r²+8r³)] / (-4)

Wie kann man die Wurzel auflösen?

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Das ist eine kubische Gleichung. Die wirst du kaum mit der Lösungsformel berechnen können.

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Okay, danke. Aber wie kann ich die lösen? Ganz normal wie x+2=5 geht ja nicht....

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Und mit Substitution auch nicht....

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- 4·x^3 - 6·r·x^2 + 2·r^3 = 0

x^3 + 3/2·r·x^2 - 1/2·r^3 = 0

Um die Lösungen einer kubischen Gleichung zu bekommen rät man eine Nullstelle und macht dann eine Polynomdivision bzw. das Horner Schema um die anderen Nullstellen zu bekommen.

Die gerätene Nullstelle kann als Faktor in dem konstanten Term (-1/2·r^3) stecken.

Wenn man kein plan hat kann man auch für r mal 1 einsetzen und den TR rechnen lassen.

Für r = 1 gibt der Taschenrechner 1/2 und -1 als Nullstellen

Für r = 2 gibt der Taschenrechner 1 und -2 als Nullstellen

Man könnte vermuten das eine Nullstelle bei - r und eine bei r/2 ist.

(x^3 + 1.5·r·x^2 - 0.5·r^3) : (x + r) = x^2 + 0.5·r·x - 0.5·r^2

(x^2 + 0.5·r·x - 0.5·r^2) : (x - 0.5·r) = x + r

Man hat also eine Doppelte Nullstelle bei -r und eine bei r/2. In der Aufgabe macht nur r/2 einen Sinn. Sie bestätigt auch meine Anfängliche Vermutung, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt.