Menge bezüglich einer Norm beschränkt

Question

Hi, 
ich habe eine Menge A : = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1} und eine Norm ||(x,y)|| = 1/2 * | x | + 1/4 * | y | gegeben. (ℝ²->ℝ)

Ich soll nun zeigen, ob die Menge A bezüglich der gegebenen Norm beschränkt ist.  Ich verstehe es leider nicht ganz, weil die Menge, sowie die Norm Variablen besitzen.  

Um zu zeigen, dass die Norm eine obere/untere Schranke ist, muss ich zeigen, dass alle Elemente der Menge A größer/kleiner-gleich einem Element der Norm sind. Aber die Norm ist ja nicht fest? Wie kann ich mir das nun vorstellen? 

Bitte keine detaillierte Lösung dazu posten

Danke und liebe Grüße

Comments

Warum ist

A =  {x | x^2 < 9 }

beschränkt bezüglich der Norm ||x||  = |x| ?

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Weil es ein C ≥0 gibt, so dass ||x|| ≤ C für alle x ∈ A.  

Habs jetzt, danke dir.

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Ja. Genau.

Am besten gibst du so ein C an. Du kannst durchaus überschätzen und in meinem Bsp. z.B. C=4 angeben.

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freeze change freeze

Answer 1

Du hast es ja inzwischen. Ich mache der Kommentarkette mal ein Ende:

A : = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1} und eine Norm ||(x,y)|| = 1/2 * | x | + 1/4 * | y | gegeben. (ℝ²->ℝ)

(x,y) ∈ A ==> |x| ≤ 1 und |y| ≤1
Daher gilt:
 ||(x,y)|| = 1/2 * | x | + 1/4 * | y |  ≤   1/2 * 1 + 1/4 * 1  = 3/4 <1.

Als C kann man somit z.B. 1 nehmen.