Komplexe Gleichungen lösen: a.) z^2 + (2+4i)z -6=0 b.) (z+√3)^3=-1

Question

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der folgenden Gleichungen in der Form z=a+bi mit reellen Zahlen a, b:

a.) z^2 + (2+4i)z -6=0
b.) (z+√3)^3=-1

Bei a.) habe ich die Mitternachtsformel benutzt und bin auf (-2-4i ± √12+16i)/2 gekommen. Was muss ich jetzt weiter machen?

Comments

Du meinst vielleicht: 

(-2-4i ± √(12+16i))/2 

Nun bestimme die beiden Wurzeln √(12+16i)  in C. 

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Muss ich dafür die Polarkoordinaten benutzen?

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√(12+16i)  = 2√(3 + 4i) 

Wenn unter der Wurzel keine binomische Formel zu erkennen ist, ist das am einfachsten. 

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Kannst du mir bitte b.) zeigen?

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b) hab ich doch schon berechnet.

Kontrolle:

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Was soll ich bei b.) als erstens machen?

Answer 1

 (z+√3)³=-1 

-1 = e^{iπ + 2kπ}

 (z+√3)³=-1   | ^{1/3}

z_(k) + √3 = e^{i(π/3  + 2kπ/3)}

z_(k) = - √3 + e^{i(π/3  + 2kπ/3)}

z_(1) = - √3 + e^{iπ/3} = 1/2-(1-i/2) √(3)

z_(2) = - √3 + e^{i(π/3  + 2π/3)} = -√3 + e^{iπ} = -√3 - 1

z_(3) = - √3 + e^{i(π/3  + 4π/3)} = 

- √3 + e^{i(5π/3)} = 1/2-(i√3)/2

Comments

Sorry b.) ist eigentlich (z+√(3))^3=-8i

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Ok. Dann hast du ja jetzt einen Weg und änderst einfach die Zahlen.

^3√8 = 2 und i = e^{iπ/3}