Aloha :)
Erstmal würde ich die Gleichung umformen:
$$(1-i)z^3=4i\quad\Rightarrow\quad z^3=\frac{4i}{1-i}=\frac{4i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{4i+4i^2}{1-i^2}=\frac{4i-4}{2}=2i-2$$Dann die komplexe Zahl in Polarform schreiben:
$$z^3=\sqrt{2^2+2^2}\,e^{i\left(\arctan\left(\frac{2}{-2}\right)+\pi\right)}=\sqrt8\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$$Zum Ziehen der \(n\)-ten komplexen Wurzel addierst du nun zum Polarwinkel der Reihe nach \(2\pi\,k\) mit \(k\in{0,1,2,\ldots,n-1}\) und ziehst dann die Wurzel. Hier ist \(n=3\) sodass:
$$z_1=\left(\sqrt8\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot0\right)}\right)^{1/3}=8^{1/6}\,e^{\frac{i}{3}\frac{3\pi}{4}}=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$$$$z_2=\left(\sqrt8\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot1\right)}\right)^{1/3}=8^{1/6}\,e^{\frac{i}{3}\frac{11\pi}{4}}=\sqrt2\,e^{i\frac{11\pi}{12}}$$$$z_3=\left(\sqrt8\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot2\right)}\right)^{1/3}=8^{1/6}\,e^{\frac{i}{3}\frac{19\pi}{4}}=\sqrt2\,e^{i\frac{19\pi}{12}}$$
Beachte bitte \(\sqrt[3]{\sqrt 8}=\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}=\sqrt[3]{(\sqrt 2)^3}=\sqrt2\).
