Matrizengleichungen Nachweis

Question

ich habe hier zwei Aufgaben zu Matrizengleichungen, bei denen ich nicht weiß wie ich am besten vorgehen sollte. Vielleicht ist es möglich, dass mir jemand eine Aufgabe davon anschaulich berechnet.

1. Weisen sie nach, dass X=[2C₁-C₁A^-1]^T Lösung der Matrizengleichung C₁^-1X^TA+E=2A ist.

2. Zeigen Sie, dass X=17(A^TB)^-1-3E Lösung der Matrizengleichung x34X^-1-6(B^TA)^T=(AX^T)^T2B ist.

Answer 1

C₁^-1X^TA+E=2A      genau wie bei "normalen" Gleichungen das X alleine auf eine Seite bringen, etwa so

C₁^-1X^TA+E=2A     | von rechts * A ^-1  angenommen es existiert ein A ^-1

(C₁^-1X^TA+E) *  A ^-1 =2A * A ^-1      links Seite Distributiv gesetz  rechts Def. der Inversen

C₁^-1X^TA *  A ^-1 +E *  A ^-1 =2 * E 

C₁^-1X^T E+   A ^-1 =2 * E    | von links * C₁  

X^T E+   C₁ *A ^-1 =   C₁ *2 * E 

X^T +   C₁ *A ^-1 =   2C₁                 | -   C₁ *A ^-1 

X^T                   =   2C₁   -   C₁ *A ^-1        |   beide Seiten transponieren

(X^T ) ^T                  =   ( 2C₁   -   C₁ *A ^-1     ) ^T 

X                          =  ( 2C₁   -   C₁ *A ^-1     ) ^T 

eventuell noch Probe durch Einsetzen gibt :

C₁^-1 (     ( 2C₁   -   C₁ *A ^-1     ) ^T   )^TA+E=2A       zweimal ^T hebt sich auf

C₁^-1   *    ( 2C₁   -   C₁ *A ^-1     ) * A+E=2A       distributiv

(  C₁^-1   * ( 2C₁ )  -  C₁^-1   * (C₁ *A ^-1 )    ) * A+E=2A    assoziativ und Def. der Inversen

(   2 E            -   A ^-1 )    * A   + E   =   2A        wieder distr.

  2 E * A            -   A ^-1     * A   + E   =   2A    und Def. Inverse

     2 A               -         E     +   E     =     2A 

                                   2A    =   2A      q.e.d.

Comments

Okay vielen Dank hat mir sehr geholfen, ich habe allerdings auch Schwierigkeiten bei der 2. Aufgabe.

x34X^-1-6(B^TA)^T=(AX^T)^T2B    |*1/2

X17X^-1-3(A^TB)=XA^TB

X17X^-1-3(A^TB)*(A^TB)^-1

X17X^-1-3E=X       Ja nun keine Ahnung ob bereits etwas falsch ist oder wie man fortfahren sollte.

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X17X^-1   =17*E    bei Multiplikation mit Zahlen darf man die Reihenfolge ändern: also

X17X^-1-3(A^TB)=XA^TB

17E-3(A^TB)=XA^TB

jetzt distributiv beachten

17E*(A^TB)^-1    -    3(A^TB)*(A^TB)^-1 = X

17(A^TB)^-1    -  3E=X     q.e.d.