Wurzelkriterium für Folge

Question

Hallo mein aufgabe ist es die konvergenz von der Folge an= ∑n=1 bist ∞ ((1+1/(2n))^n - 5/4 )^n zu bestimmen.

in der volesung hatten wir eine hinr bedingung fürs wurzelkriterium und zwar:

lim k→∞ :( k-te√(ak)) und lim k→∞ : k-te√(ak) < 1 gelten .

habe die wurzel gezogen und als erstes (1+1/2n)^n -5/4 erhalten.

Danach habe ich nochmal die wurzel von (1+1/2n)^n gezogen und den limes gebildet und ras bekommen das es gg 1 konvergiert.

Wenn ich jetzt 1-5/4 rechne bekomme ich = -0,25 und -0,25 <1 ..habe ich damit die konvergenz gezeigt und ist dann der limes = 0 der Folge.. =??

Mfg

Answer 1

\(\lim \sqrt[n]{|((1+1/(2n))^n-5/4)^n|}=\lim |(1+(1/2)/n)^n-5/4|=\)

\(=|\lim(1+(1/2)/n)^n-5/4|=|e^{1/2}-5/4|=|\sqrt{e}-5/4|<1\).

Daher konvergiert diese Reihe.