Homomorphismus prüfen

Question

Ist ℚ[X]_(<3) → ℚ[X]_(<4), a_(0) + a_(1)X + a_(2)X^{2} ↦ (a_(1)+a_(2))X + a_(2)X^2 + (a_(0)-a_(2))X^3 über ℚ ein Vektrorraum Homomorphismus

Answer 1

du hast ja für p = a₀ + a₁X + a₂X²
f(p) =  f (a₀ + a₁X + a₂X² )   =    (a₁+a₂)X + a₂X² + (a₀-a₂)X³
und must nun prüfen ob f(p+q) = f(p) + f(q) und f ( z*p) = z * f(p)
sei also q = b₀ + b₁X + b₂X²

dann ist ja p+q = (a₀ + a₁X + a₂X²  )+( b₀ + b₁X + b₂X² )

=  (a₀ + b₀ )+ (a₁ +b₁)X + (a₂ +b₂X²  

und die Klammern spielen jetzt die Rolle von a0,a1,a2 in der Definition der Abbildung

also ist f (p+q) = ( (a₀ + b₀ )+ (a₁ +b₁))*x  +  (a₁ +b₁) x^2  +   ((a₀ + b₀ )+ (a₂ +b₂))x^3  

und das formst du um zu (  (a₁+a₂)X + a₂X² + (a₀-a₂)X³ )+ (   (b₁+b₂)X + b₂X² + (b₀-b₂)X³ )

= f(p) + f(q)

und bei f ( z*p) = z * f(p) entsprechend.