Ermitteln Sie gegebenenfalls den Term der Folge: a.) <1/3;2/5;3/7;4/9>, b.) <1,9;1,99;1,999;...>

Question

a.)

<1/3;2/5;3/7;4/9>

R: <an>=2^{n-1}/3^{n-1}=(2/5)^{n-1}=5/2*(2/5)^n

Bis zum Wert 2/5 funktioniert die Vorschrift ja noch aber dann nicht mehr:

n=3:

5/2*(2/5)^3=5/2*8/125=40/250=4/25 statt 3/7

Aber die Bildungsvorschrift ist doch richtig konstruiert oder?

Kann es passieren, dass innerhalb einer Folge mehrere Bildungsvorschrifen gelten und wenn mit welchem n fahre ich fort,- mit der Folge oder wieder bei Null für die neue Bildungsvorschrift?

b.) <1,9;1,99;1,999;...>

c.) <8,1;8,01;8,001;.....>

d.) 0,1;-0,01;+0,001;-0,0001.....>

e.) <1/2;4/3;9/4;16/5>

f.) <-2,4,-8,16,.....>

Kann mir jemand die Bildungsvorschrift anhand der vorhandenen Beispiele noch einmal erklären. Ich wäre sehr dankbar,

.

Comments

$$ a) \left\langle \frac { n }{ 2n-1 } \right\rangle $$

Answer 1

a) an = n/(2n + 1)

Innerhalb der Folge macht man bestenfalls nur die Unterscheidung zwischen gerade und ungerade n

Beispielsweise c)

Da sieht man das immer eine 8 vor dem Komma steht. Also muss die Vorschrift

"8 + x" sein. Und bei jeder Erhöhung des Index kommt jeweils 0,1....0,01 ... 0,001 ... etc hinzu:

an = 8 + 1/10ⁿ = 8 + 10^-n   für n ∈ Ν⁺

oder e) In den Zählern stehen Quadratzahlen und in den Nennern die normale Abfolge beginnend mit 2. Da wir in der Regel mit n = 1 anfangen, muss man im Nenner das n mit 1 addieren:

-> an = n²/(n +1)

Answer 2

a) <1/3;2/5;3/7;4/9>

an = n / (2n + 1)

b.) <1,9;1,99;1,999;...>

an = 2 - 1/10^n

c.) <8,1;8,01;8,001;.....> 

an = 8 + 1/10^n

d.) 0,1 ; -0,01 ; +0,001 ; -0,0001.....> 

an = - (-0.1)^n

e.) <1/2;4/3;9/4;16/5> 

an = n^2 / (n + 1)

f.) <-2 , 4 , -8 , 16,.....>

an = (-2)^n