Eulersche Zahl irrational, indirekter Beweis

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Euler'sche Zahl e \( =\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \) irrational ist.

Gehen Sie dazu in folgenden Schritten vor:

(a) Zeigen Sie, dass für alle \( m \in \mathbb{N} \) und alle \( n \in \mathbb{N} \) die folgende Ungleichung gilt:

\( \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{m !}{(m+k) !}<\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{m^{k}} \)

(b) Sei nun \( S_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \) und \( m \in \mathbb{N} \) fest.
Zeigen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N}, n>m \) folgende Ungleichung gilt:

\( S_{m}<S_{n}<S_{m}+\frac{1}{(m+1) !} \sum \limits_{k=0}^{n-(m+1)} \frac{1}{(m+1)^{k}} \)

Hinweis: Verwenden Sie Teil [a].

(c) Zeigen Sie, für alle \( m \in \mathbb{N} \), die Abschätzung:

\( S_{m}<\mathrm{e} \leq S_{m}+\frac{1}{m} \frac{1}{m !} \)

Hinweis: Verwenden Sie Teil [b].

(d) Folgern Sie aus Teil [c)], dass e irrational ist und dass \( 2,5<\mathrm{e}<2,75 \) ist.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( m ! \cdot S_{m} \) für alle \( m \in \mathbb{N} \) ganzzahlig ist. Bringen Sie damit die Annahme, dass e \( =\frac{p}{q} \) eine rationale Zahl ist, zum Widerspruch!

Answer 1

Hi,
$$ (a) \quad \sum_{k=0}^n \frac{m!}{(m+k)!} = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{\prod_{i=1}^n (m+i)} < 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{m^k} = \sum_{k=0}^n\frac{1}{m^k} $$
zu (b)
für \( n > m \) gilt, wie man sofort sieht \( S_m < S_n \)
Weiter gilt
$$  S_n = S_m + \sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k!} = S_m + \sum_{k=0}^{n-(m+1)} \frac{1}{(m+1+k)!} $$ und wegen (a) angwendet mit \( m+1 \) folgt die Behauptung von \( (b) \)
Zu (c)
Wegen der Definition von \( e \) gilt \( S_m < e = S_\infty \) und wegen \( (b) \) folgt  \( S_\infty < S_m + \frac{1}{(m+1)!} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{m+1} \right)^k = S_m + \frac{1}{m!} \frac{1}{m} \)

Zu (d)
Sei \( e =\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \) mit \( p,q \in \mathbb{N} \) dann folgt aus \( (c) \)
$$  m! \cdot S_m \cdot q < m! \cdot p < m! \cdot S_m \cdot q + \frac{q}{m} $$
und weil \(  \frac{m!}{k!} \in \mathbb{N} \text{ für } m \le k \) gilt, ist auch der Ausdruck \( m! \cdot S_m \cdot q \in \mathbb{N} \) und es ist auch \( m! \cdot p \in \mathbb{N} \)
Ist \( m > 2 \cdot q \) dann kann in dem Intervall \( [m! \cdot S_m \cdot q \quad , \quad m! \cdot S_m \cdot q + \frac{1}{2}] \) aber keine natürliche Zahl mehr liegen. Damit kommt es zum Widerspruch und es gilt \( e \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}  \)

Answer 2

Steht doch ganz genau dort, was du tun sollst.

Hier mal ein Anfang für a) m und n sind vorgegeben.

in den Summanden ist k gegeben.

m!/(m+k)! = 1/((m+1).....(m+k)) = 1/(m+1) * (1/(m+2) ) * .... *(1/(m+k))            | weil m >0.

< 1/m * (1/m) *....* (1/m)

= 1/m^k

Nun das Summenzeichen dazunehmen:

Wenn jeder einzelne Summand kleiner ist, ist auch die Summe kleiner. qed a).

b) Hier darfst du nun ja a) benutzen.