Untersuche das Monotonieverhalten und berechne die obere und untere Schranke der Folge, ohne Hilfe der Polynomdivision:

Question

Bsp.: <(2+3n)/(n²+1)

Im Buch steht da nur bei einem Beispiel kurz dabei das es Schranken gibt.

Wie man das berechnet haben Sie sich leider gespart.

Ich habe lediglich die Infos, dass.......

an </gleich A für n>/gleich 1 ...............die obere Schranke definiert ist

an >/gleich B für n>/gleich 1 ...............die untere Schranke definiert ist

Wie soll ich dieses A nun herausfinden?

SCHRANKEN: Jetzt steht da ein Beispiel und zwar steht da:

a.) Bei der Folge <(3n-2)/(2n+1)> sind etwa a1=1/3 eine untere Schranke und 1,5 eine obere Schranke. 1/3 ist die größte untere Schranke, 1,5 ist die kleinste obere Schranke.

b.) Bei der Folge <(3n+2)/(2n-1)> sind etwa a1=5 eine obere Schranke und 1,5 eine untere Schranke. 5 ist die kleinste obere Schranke 1,5 ist die größte untere Schranke.

---> Das ist nun so ziemlich alles an Informationen die ich habe, womit ich die in diesem Posting gestellte Aufgaben lösen soll. Ist a.) und b.) rechnerisch nachvollziehbar oder haben die das Ergebnis erfunden?

Answer 1

an = (2 + 3·n)/(n^2 + 1)

Rechnen wir mal die ersten Folgeglieder aus

a1 = 2.5
a2 = 1.6
a3 = 1.1
a4 = 0.8235294117
a5 = 0.6538461538

Vermutung Streng monoton fallend

a(n+1) < an
(2 + 3·(n + 1))/((n + 1)^2 + 1) < (2 + 3·n)/(n^2 + 1)
Auflösen nach n
n > 0.1350416126

Das ist also für alle n erfüllt.

Die obere Schranke ist damit direkt die 2.5. Nun bildet man den Grenzwert für n gegen unendlich

lim (n --> ∞) (2 + 3·n)/(n^2 + 1)
lim (n --> ∞) (2/n + 3)/(n + 1/n)
lim (n --> ∞) 3/n = 0

Damit ist die untere Schranke 0.

Comments

Ich versuche es einmal:

a(n+1) < an 
(2 + 3·(n + 1))/((n + 1)² + 1) < (2 + 3·n)/(n² + 1) 

R:

(2+3*n(n+1))/((n+1)²+1)<(2+3*n)/(n²+1)

=[(2+3n²+3)/n+2n+1+1]<[(2+3n)/n²+1)]

=(5*n²)/(n)<(2+3n)/(n²+1)

=5n<(2+3)/(n+1)

=5n²+1<5

=n²+1<1 

=n²<0

n=0

Auflösen nach n 

n > 0.1350416126 

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Schon gleich deine erste Zeile ist falsch.

(2+3*n(n+1))/((n+1)²+1)<(2+3*n)/(n²+1)