Aufgabe:
Sei \( A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & & & \\ -1 & 2 & -1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2\end{array}\right) \in M_{n}(\mathbb{R}) \). (die unsichtbaren Einträge sind 0)
Definiere \( h=\frac{\pi}{n+1} \) und \( \lambda_{k}=2-2 \cos (k \cdot h) \) für \( 1 \leq k \leq n \). Sei außerdem
\( v_{k}=\left(\begin{array}{c} \sin (k h) \\ \sin (2 k h) \\ \vdots \\ \sin (n k h) \end{array}\right) \)
Zeigen Sie:
a) \( A v_{k}=\lambda_{k} v_{k} \) für alle \( 1 \leq k \leq n \).
b) Das charakteristische Polynom \( P_{A}(x) \) von \( A \) hat genau die Nullstellen \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \).
