Charakteristisches Polynom Beweis

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper und \( A \in G L_{n}(K) . \) Seien \( r_{0}, \ldots, r_{n} \in K \) sodass für das charakteristische Polynom \( P_{A}(t) \) von \( A \) gilt \( P_{A}(t)=r_{n} t^{n}+r_{n-1} t^{n-1}+\ldots+r_{0} \) für alle \( t \in K \).

Zeigen Sie:

\( P_{A^{-1}}(t)=(-1)^{n}(\operatorname{det} A)^{-1}\left(r_{n}+r_{n-1} t+\ldots+r_{0} t^{n}\right) \)

Answer 1

Hi,
es gilt
$$ A^{-1} - \lambda I = (-\lambda) \left( I - \frac{1}{\lambda}A^{-1} \right) = (-\lambda) \left(A - \frac{1}{\lambda}I \right)A^{-1}  $$
Deshalb gilt
$$ P_{A^{-1}}(\lambda) = (-\lambda)^n \cdot \det(A)^{-1} \cdot P_A\left(  \frac{1}{\lambda}\right) = (-1)^n \cdot \det(A)^{-1} \cdot \sum_{k=0 }^n r_k \lambda^{n-k} $$ was zu beweisen war.