Beweis Charakteristisches Polynom

Question

Ich lerne gerade für eine Klausur und bin über dieses Beispiel gestolpert. Ich weiß  wie das Charakteristische Polynom aussieht jedoch habe ich keine Idee, wie ich hier anfangen kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Sebastian

Answer 1

Es gilt

$$ \chi_M(\lambda) = \det( \lambda E - M) = \det \left[ \lambda E - \begin{pmatrix}  A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{pmatrix} \right]  = \\  \det \left[ \begin{pmatrix}  \lambda E - A_1 & B \\ 0 & \lambda E - A_2 \end{pmatrix} \right] = \det ( \lambda E - A_1 ) \cdot \det ( \lambda E - A_2 ) = \\ \chi_{A_1}(\lambda) \cdot \chi_{A_2}(\lambda) $$

Comments

wieso darf man das im letzten Schritt auseinander ziehen?

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Der vorletzte Schritt war als Tipp gegeben und der letzte Schritt ist die Definition des characteristischen Polynoms.

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Den vorletzten Schritt verstehe ich ehrlich gesagt auch nicht.

Kann man das anhand irgendeiner Definition oder eines Satzes begrünen?

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Aber das kann doch als gegeben angenommen werden. Die Determinate einer Blockdiagonalmatrix ist das Produkt der Determinaten der Matrizen auf der Diagonale. Zum Beweis dafür siehe hier

https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2584

Ist damit alles klar?

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In Abschnitt Blockmatrizen

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Blockmatrizen heisst das

"verallgemeinerter Entwicklungssatz" .