Zwei Zufallsvariablen auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Seien … die Zähldichten von X und Y.

Question

Aufgabe:

Seien $X: \Omega \rightarrow S_{1}$ und $Y: \Omega \rightarrow S_{2}$ zwei Zufallsvariablen auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, P)$ und seien $S_{1}$ und $S_{2}$ (höchstens) abzählbar.

Sei $f_{(X, Y)}(x, y)=P\{X=x, Y=y\}, x \in S_{1}, y \in S_{2}$, die Zähldichte von $(X, Y)$.

(a) Seien $f_{X}(x)=P\{X=x\}, x \in S_{1}$, und $f_{Y}(y)=P\{Y=y\}, y \in S_{2}$, die Zähldichten von $X$ bzw. von $Y$.

Zeigen Sie

$\begin{array}{l} f_{X}(x)=\sum \limits_{y \in S_{2}} f_{(X, Y)}(x, y), \quad x \in S_{1} \\ f_{Y}(y)=\sum \limits_{x \in S_{1}} f_{(X, Y)}(x, y), \quad y \in S_{2} \end{array}$