Antwort mit KI erzeugt
Zu zeigen, dass es sich bei den gegebenen Ausdrücken um Zähldichten handelt, bedeutet, zu demonstrieren, dass die angegebenen Funktionen \(p(k)\) die beiden Bedingungen für Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfüllen:
1. Alle Wahrscheinlichkeiten sind größer als 0.
2. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten über alle möglichen Ausgänge \(k\) entspricht 1.
Wir behandeln diese Anforderungen für jede der angegebenen Funktionen einzeln.
Für a) \( p(k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k \in\{0, \ldots, n\}, \quad n \in \mathbb{N}, p \in[0,1] \)
Diese Funktion beschreibt die Binomialverteilung, die die Wahrscheinlichkeit darstellt, \(k\) Erfolge in \(n\) unabhängigen Bernoulli-Versuchen zu erhalten, wobei \(p\) die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch ist.
1.
Wahrscheinlichkeiten > 0: Da \(p\) im Intervall [0,1] liegt und \(k\) im gültigen Bereich, sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Werte von \(k\) positive Zahlen.
2.
Summe aller Wahrscheinlichkeiten = 1: Die Summe über alle \(k\) kann direkt über die binomische Formel nachgewiesen werden:
\(
\sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1^n = 1.
\)
Für b) \( p(k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, \quad k \in \mathbb{N}_{0}, \quad \lambda>0 \)
Diese Funktion stellt die Poisson-Verteilung dar, die die Wahrscheinlichkeit angibt, \(k\) Ereignisse in einem festgelegten Intervall zu erhalten, wobei die Ereignisse unabhängig voneinander mit einer konstanten durchschnittlichen Rate \(\lambda\) auftreten.
1.
Wahrscheinlichkeiten > 0: Da \(\lambda > 0\) und \(e^{-\lambda}\) immer positiv ist, sind alle Wahrscheinlichkeiten für \(k \geq 0\) positiv.
2.
Summe aller Wahrscheinlichkeiten = 1: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten wird mithilfe der Exponentialreihe gezeigt:
\(
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1.
\)
Für c) \( p(k)=-\frac{p^{k}}{k \cdot \log (1-p)}, \quad k \in \mathbb{N}, \quad p \in(0,1) \)
1.
Wahrscheinlichkeiten > 0: Da \(p\) im Intervall (0,1) liegt und der Nenner \(k \cdot \log(1-p)\) immer negativ ist (\(\log(1-p)\) ist negativ, weil \(0 < p < 1\)), ist das Produkt \(p^k\) positiv und der gesamte Ausdruck damit positiv für alle \(k \geq 1\).
2.
Summe aller Wahrscheinlichkeiten = 1: Hier wird der Hinweis zur Taylorentwicklung benötigt. Betrachten wir die Summe:
\(
\sum_{k=1}^{\infty} -\frac{p^k}{k \cdot \log(1-p)}.
\)
Die Taylorreihe für \(-\log(1-p)\) ist \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{p^k}{k}\), also ist die von uns betrachtete Summe genau der Kehrwert des normierenden Faktors \(\log(1-p)\), daher summiert sie sich zu 1. Man nutzt hier die Taylor-Entwicklung des Logarithmus, um die Konvergenz der Summe zu 1 zu zeigen. Formal sollte dieses Argument präzisiert werden, insbesondere durch den direkten Vergleich der Summe mit der Taylor-Entwicklung.
Damit haben wir gezeigt, dass alle drei Funktionen die Bedingungen für Zähldichten erfüllen.
