Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse: Homomorphismus und Normalteiler. a ~ b :⇔ a^{-1} b ∈ H,

Question

Aufgabe:

Sei H ⊂ G eine Untergruppe einer Gruppe G. Zeigen Sie:

(i) Durch       a ~ b :⇔ a^-1 b ∈ H,

                 a ~ b' :⇔ b a^-1 ∈ H

werden zwei Äquivalenzrelationen ~ und ~' auf G definiert.

(ii) Die Äquivalenzklasse eines Elements g ∈ G bezüglich ~ bzw. ~' ist

                 gH = {gh | h ∈ H} bzw. Hg= {hg | h ∈ H}

(Die Äquivalenzklassen heißen Rechts- bzw. Linksnebenklassen)

(iii) Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

       • ~ = ~' ,

       • G/ ~ = G/~' ,

       • für alle g ∈ G ist gH = Hg,

       • H ⊂ G ist ein Normalteiler.

(iv) Falls eine der äquivalenten Bedingungen unter (iii) erfüllt ist, so erbt G/H:= G/~ eine Gruppenstruktur, sodass

  G →G/H, g ↦gH, ein Homomorphismus ist.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse: Homomorphismus und Normalteiler

Um die gegebene Aufgabe zu lösen, gehen wir schrittweise vor:

Teil (i): Äquivalenzrelationen

Zwei Relationen \(\sim\) und \(\sim'\) sind definiert durch:
- \(a \sim b\) genau dann, wenn \(a^{-1}b \in H\)
- \(a \sim' b\) genau dann, wenn \(ba^{-1} \in H\)

Um zu zeigen, dass diese beiden Relationen Äquivalenzrelationen sind, müssen wir nachweisen, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sind:

- Reflexiv: Für jedes \(a \in G\), ist \(a^{-1}a = e \in H\) und \(aa^{-1} = e \in H\), da \(H\) eine Untergruppe von \(G\) ist und somit das neutrale Element \(e\) enthält. Daher ist \(a \sim a\) und \(a \sim' a\).

- Symmetrisch: Wenn \(a \sim b\), dann \(a^{-1}b \in H\), folglich \((a^{-1}b)^{-1} \in H\) weil Untergruppen unter Inversion geschlossen sind, also \(b^{-1}a \in H\), was \(b \sim a\) bedeutet. Analog folgt aus \(a \sim' b\), dass \(ba^{-1} \in H\) und damit \(ab^{-1} \in H\) oder \(b \sim' a\).

- Transitiv: Wenn \(a \sim b\) und \(b \sim c\), dann sind \(a^{-1}b\) und \(b^{-1}c\) in \(H\). Das Produkt \(a^{-1}bc^{-1}c = a^{-1}c\) ist ebenfalls in \(H\), da \(H\) unter Gruppenoperation geschlossen ist, somit \(a \sim c\). Analog für \(\sim'\).

Teil (ii): Äquivalenzklassen

Die Äquivalenzklasse eines Elements \(g \in G\) ist definiert als die Menge aller Elemente in \(G\), die in Relation zu \(g\) stehen. Für die beiden Relationen erhalten wir:
- Die Äquivalenzklasse von \(g\) bezüglich \(\sim\) ist \([g] = gH = \{gh | h \in H\}\), da \(g \sim x\) genau dann gilt, wenn \(g^{-1}x \in H\), was gleichbedeutend mit \(x \in gH\) ist.
- Analog ist die Äquivalenzklasse von \(g\) bezüglich \(\sim'\) ist \([g]' = Hg = \{hg | h \in H\}\), da \(g \sim' x\) genau dann gilt, wenn \(xg^{-1} \in H\) was gleich ist zu \(x \in Hg\).

Teil (iii): Äquivalente Bedingungen

Die Bedingungen sind gleichwertig und zeigen die Bedingung für \(H\) ein Normalteiler zu sein:
- \(~ = ~'\) bedeutet, dass die Rechts- und Linksnebenklassen von \(H\) in \(G\) identisch sind für alle Elemente, d. h., für jedes \(g \in G\), \(gH = Hg\).
- \(G/ ~ = G/~'\) impliziert ebenfalls, dass die Partition von \(G\) in Äquivalenzklassen (Nebenklassen) durch \(\sim\) und \(\sim'\) dieselbe ist.
- \(gH = Hg\) für alle \(g \in G\) zeigt direkt, dass \(H\) in \(G\) 'normal' oder selbst-konjugiert ist, was bedeutet, dass es ein Normalteiler ist.

Teil (iv): Gruppenstruktur und Homomorphismus

Wenn \(H\) ein Normalteiler ist, dann ist die Faktorgruppe \(G/H\) wohldefiniert mit der Gruppenoperation \((g_1H) \cdot (g_2H) = (g_1g_2)H\). Diese Operation ist wohldefiniert, da für alle \(h_1, h_2 \in H\), das Produkt \((g_1h_1)(g_2h_2) = (g_1g_2)(h_1^{g_2}h_2) \in (g_1g_2)H\), wobei \(h_1^{g_2}\) die Konjugation von \(h_1\) durch \(g_2\) ist, was in \(H\) bleibt, wenn \(H\) ein Normalteiler ist.

Die Abbildung \(G \to G/H\), gegeben durch \(g \mapsto gH\), ist ein Homomorphismus, da \(g_1H \cdot g_2H = (g_1g_2)H\), was das Bild des Produkts \(g_1g_2\) unter diesem Homomorphismus ist. Die Homomorphieeigenschaft, d. h. \(\phi(g_1g_2) = \phi(g_1) \cdot \phi(g_2)\), ist offensichtlich erfüllt.