a) Es handelt sich um eine ===> ganze ===> ( transzendente ) Funktion; siehe ===> Funktionentheorie. Als ganze Funktion ist sie auch auf ganz |R definiert.
Im Ursprung besitzt sie eine doppelte Nullstelle; eine Nullstelle gerader Ordnung ist immer ein Extremum ( offensichtlich das absolute Minimum, weil unsere Funktion ja nicht negativ ist. )
Halt stop; bei transzendentn Funktionen ist die Ordnung einer Nullstelle nicht ohne Weiteres ersichtlich. Z.B. besitzt y = x sin ( x ) im Ursprung eine doppelte Nullstelle. Also was meinen wir damit genau?
Definition 1
Eine funktion y = f ( x ) sei vom Typ ( x0 ; n ) , falls sie in einer ( offenen ) Umgebung von x0 n-mal differenzierbar ist.
Definition 2a ( n-fache Nullstelle )
Die Funktion y = f ( x ) habe eine Nullstelle n-ter Ordnung in x0 , falls eine Funktion g ( x ) existiert vom Typ ( x0 ; n ) so dass gilt
f ( x ) = g ( x ) ( x - x0 ) ^ n ( 1a )
g0 := lim g ( x ) < > 0 ( 1b )
Erläuterung. Für x < > x0 folgen ja die Werte von g ( x ) aus Definition ( 1a ) Für x = x0 erhalten wir allerdings keine Aussage.
Dafür existiert aber der Grenzwert ( 1b ) , weil g ( x ) wegen der voraus gesetzten Differenzierbarkeit auf jeden Fall stetig ist. Dass dieser Grenzwert nicht Null sein darf, ist wesentlich. Sonst wäre die definierte Ordnung n i.A. nicht eindeutig.
Definition 2b
Eine Funktion y = f ( x ) vom Typ ( x0 ; n ) hat eine Nullstelle n-ter Ordnung in x0 , falls
f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = ... = ( d/dx ) ^ ( n - 1 ) f ( x0 ) = 0 ( 2a )
( d/dx ) ^ n f ( x0 ) < > 0 ( 2b )
Satz 1
Die Definitionen 2a und 2b sind äquivalent.
Dass die Funktion
f ( x ) := x ² exp ( - 2 x ) ( 3 )
im Ursprung eine doppelte Nullstelle hat, sieht man nach Methode 2a wesentlich schneller als mit 2b .
Halt Stop; Ableitungen sind noch lange nich. Ganz wichtig sind jetzt Grobskizze und Asymptotik, damit wir merken, wo noch weitere kritische Punkte zu erwarten sind. Für x ===> ( - °° ) geht der Graf nach ( + °° ) wie die e-Funktion; und er verebbt in dem uneigentlichen Punkt
( + °° | + 0 ) ( 4 )
weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Wir erwarten somit
0 < x1 ( w ) < x ( max ) < x2 ( w ) ( 5 )
Die erste Ableitung bildest du am besten mit der Methode des ===> logaritmischen Differenzierens:
ln ( y ) = 2 [ ln ( x ) - x ] ( 6a )
y ' / y = 2 ( 1/x - 1 ) = 0 ===> x ( max ) = 1 ( 6b )
( x | y ) ( max ) = ( 1 | 1/e ² ) ( 6c )
Es gibt ein Verfahren, den ===> D-Operator ( Courant Bd. 2 ) direkt ohne Zwischenschritte die 4 711 . Ableitung von ( 3 ) zu bilden, eine für n-te Ableitung verallgemeinerte Produktregel ( VPR ) Und zwar funktioniert die VPR ganz analog der ersten binomischen; z.B. für 2. Ableitung ergibt sich
( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v " ( 7a )
= ( 2 - 8 x + 4 x ² ) exp ( - 2 x ) = 0 ( 7b )
x ² - 2 x + 1/2 = 0 | MF ( 7c )
x1;2 ( w ) = 1 -/+ 1/2 sqr ( 2 ) ( 7d )
Was auffällt undwas ich bei so Aufgaben schon öfters hatte: Die beiden WP fallen symmetrisch zu dem Maximum.
Der Definitionsbereich der b) sind alle x > = 0 Ja doch; auch die Null . Denn Physiker wie ich wissen
lim x ln ( x ) = ( - 0 ) ( 8 )
Wenn du jetzt fragst, von welcher Ordnung ist die Nullstelle im Ursprung, bretterst du auf eine Katastrofe. Wieder halten wir uns an Definition 2a ; wäre sie einfach, so müsste
g ( x ) = x ln ( x ) ===> 0 ( 9a )
Grenzwert Null hatten wir ja ausdrücklich ausgeschlossen. Wäre sie hingegen doppelt
g ( x ) = ln ( x ) ===> ( - °° ) ( 9b )
d.h. unsere Nullstelle besitzt gar keine klar definierte Ordnung. Laut Voraussetzung müsste ja auch g zwei Mal differenzierbar sein; bei x = 0 ist sie nicht einmal stetig. Im Übrigen ist die ganze Chose eh nicht ganz koscher; zusätzlich war ja gefordert, dass f in einer OFFENEN Umgebung von x0 definiert ist. Hier dagegen ist x = 0 Randpunkt des Definitionsbereichs.
Dann gibt es noch die Nullstelle bei x = 1 . Die ist jetzt wirklich einfach, wie man mit Methode 2b unmittelbar nachprüft. Ich will trotzdem mal zum Vergleich Version 2a vorführen. Dann ergibt sich
g ( x ) = x ² ln ( x ) / ( x - 1 ) ( 10a )
Der Vorfaktor x ² ist unkritisch und strebt gegen Eins. Dann haben wir noch
d (x ) := ln ( x ) / ( x - 1 ) ( 10b )
d ( x ) ist aber doch nichts anderes als der Differenzenquotient von Logaritmus, genommen zwischen x0 = 1 und der beliebigen Stelle x . Sein Grenzwert ist die Ableitung der Logaritmusfunktion bei x0 = 1 , und die ist Eins.
Da ja nun die Ableitung von f ( x ) im Ursprung verschwindet, erwarten wir auf jeden Fall
0 < x ( w ) < x ( min ) < 1 ( 11 )
Ungewiss ist einstweilen noch, ob die Asymptotik im Positiven noch weitere WP zulässt. Für große x sollte ein Parabel ähnliches Verhalten heraus kommen.
f ( x ) := x 2 ln ( x ) ( 12a )
f ' ( x ) = 2 x ln ( x ) + x = ( 12b )
= x [ 2 ln ( x ) + 1 ] = 0 ( 12c )
x ( min ) = 1 / sqr ( e ) ( 13a )
y ( min ) = - 1 / 2 e ( 13b )
Die 2. Ableitung besorgen wir uns wieder mittels ( 7a ) direkt aus ( 12a )
f " ( x ) = 2 ln ( x ) + 4 - 1 = 2 ln ( x ) + 3 = 0 ( 14a )
x ( w ) = x ³ ( min ) ( 14b )
y ( w ) = 3 y ( min ) / e ² ( 14c )
Nun gilt aber in ( 14c ) die Abschätzung
2 < e ===> 4 < e ² ===> 4/3 < e² /3 ===>3 / e ² < 3/4 < 1 ===> | y ( w ) | < y ( min ) ( 15 )
