Hi,
(1) man kann aus der Definition der Folge \( x_n \) leicht ersehen, dass wirklich \( x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} \) gilt, weil ja die folgende Identität gilt \( \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}} = 1 + \frac{1}{\frac{f_{n+1}}{f_{n}}} \) gilt.
Die ersten Folgenglieder sind \( x_1 = 2 \), \( x_2 = \frac{3}{2} \), \( x_3 = \frac{5}{3} \)
(2) Die Funktion \( \varphi(x) = 1 + \frac{1}{x} \) bildet das Intervall \( [ \frac{3}{2} , 2 ] \) auf sich ab, weil \( \varphi(x) \) als stetig differenzierbare Funktion streng monoton fallend ist, was man aus der ersten Ableitung \( \varphi'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \) sieht. D.h das Bild von \( [ \frac{3}{2} , 2 ] \) wird auf \( [\frac{3}{2} , \frac{5}{3}] \subset [ \frac{3}{2} , 2 ] \) abgebildet. Weiter ist die erste Ableitung von \( \varphi(x) \) ebenfalls streng monoton fallend, und deshalb gilt \( |\varphi'(x)| \le \frac{4}{9} = L \)
Damit hat man eine Lipschitzkonstante \( L < 1 \) gefunden. Somit sind die Voraussetzungen des Banaschenfixpunktsatzes erfüllt und die Abbildung \( \varphi(x) \) hei eine Fixpunkt \( \Phi \) für den gilt \( \Phi = \varphi(\Phi) \).
(3) Damit konvergiert die Folge \( x_{n} = \varphi(x_{n-1}) = 1 + \frac{1}{x_n} \) gegen den Wert \( \Phi \), weil der Startwert \( x_1 \) im Ausgangsintervall liegt.
Damit ist alles gezeigt.
Man kann jetzt noch, wenn man will, den Fixpunkt ausrechnen aus der Gleichung \( \Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} \), was auf die Gleichung \( \Phi^2 -\Phi - 1 = 0 \) führt. Eine Lösung, \( \Phi_1 = \frac{1 + \sqrt{5} }{2} \) liegt im Intervall \( [ \frac{3}{2} , 2] \)
