zahlenrätsel aus der algebra

Question

es sind zwei positive zahlen zu bestimmen, deren summe 6 ist und für die die summe ihrer kehrwerte extremal wird.

Comments

Nennen wir die Zahlen mal \(x\) und \((6-x)\). Kommst Du damit weiter?

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ja das mit der summe verstehe ich dann aber was heißt das mit dem extremal?

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Es sind die Extremstellen der Summe der Kehrwerte zu bestimmen. Sagt Dir das was?

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Betrachte dazu
$$ f(x) = \frac1x + \frac1{6-x} \\\,\\ f'(x) = -\frac1{x^2} + \frac1{(6-x)^2} $$und versuche, die Nullstellen der ersten Ableitung zu ermitteln.

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"was heißt das mit dem extremal?"

Hast du schonmal gehört das es im Sommer mal extrem heiß ist oder im Winter extrem kalt?

Wenn etwas extrem ist dann ist das in einer gewissen Zeit ein Maximum oder Minimum. Eben z.B. die extrem heißen Temperaturen bedeutet das es vorher und nachher wohl kälter war und dazwischen dann irgendwann mal extrem heiß.

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Ein Bíld sagt mitunter mehr als 1000 Worte.

~plot~ 1/x + 1/(6-x) ;  [[ 0 | 6 | 0  | 4 ]] ~plot~

Extremalwert : ist ein Hoch- oder Tiefpunkt
Extremal bei x = 3
Hier : Tiefpunkt

Answer 1

Zur Anwendung kommt das ===> Lagrangeverfahren; alle gebildeten Herrschaften machen das so. Ich würd übrigens mal tippen, du bretterst auf ein Minimum. Denn sonst könntest du ja direkt 0 und 6 wählen; die Summe würde dann ihren größten überhaupt möglichen Wert ( °° ) annehmen.

f ( x ; y ) := 1/x + 1/y = min    ( 1a )

g ( x ; y ) := x + y = const = 6   ( 1b )

Der Lagrangeparameter von (1b ) sei k; wir bilden die Linearkombination

H ( x ; y ) := f ( x ; y ) + k g ( x ; y )   ( 2 )

Notwendige Bedingung für Extremum: grad ( H ) verschwindet.

H_x = - 1 / x ² + k = 0   ( 3a )

H_y = - 1 / y ² + k = 0   ( 3b )

Wir eliminieren den Dummy k ===> x = y ( bei Giuseppe Lodovico Lagrangia da Torino folgt die Lösung immer in form eines allgemeinen Gesetzes. ) Also x = y = 3

Comments

@godzilla: Einfache Schulmathematik (Klasse 10 ... Parabelgleichungen ) tut´s ebenso ...

Ansonsten KLasse 11: Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion

LG B.

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Es ist doch super dass hier jeder die möglichkeit hat hilfe zu bekommen..und wer es nutzt um einfach nur abzuschreiben wird spätestens in den klausuren pech haben..ich finds jedenfalls praktisch und bin sehr dankbar für die hilfe..ich habs jetzt auch mit dem extremwert endlich verstanden..

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Das ist lieb, dass du antwortest ... schön, das es auch Schüler gibt, die sich mit der Lösung auseinandersetzen!

Viel Erfolg bei Deinen weiteren Klassenarbeiten !

LG B.

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Ihr alle solltet euch dafür stark machen, dass ihr das lagrangeverfahren benutzen dürft. Gerade den schwachen Schülern käme das sehr entgegen.

Mit einer Powerpoint Präsentation müsste das doch machbar sein. Dem Höhenlinienprofil der zu extremalisierenden Funktion F ( x ; y ) wird das Profil der Nebenbedingung G ( x ; y ) = const unterlegt.

D.h. es sind nur noch solche Extrema zugelassen, bei denen du auf den Höhenlinien von G verbleibst. Notwendig für Extremum: F und G haben die selbe Tangente; aus dem Schaubild ist das unmittelbar ersichtlich. Dann haben sie aber auch die selbe Normale, den selben Gradienten.

Answer 2

Es sind zwei positive zahlen zu bestimmen, deren summe 6 ist und für die die summe ihrer kehrwerte extremal wird.

x und (6 - x)

Summe der Kehrwerte

S = 1/x + 1/(6 - x)

S' = - 1/x^2  + 1/(x - 6)^2 = 0 --> x = 3

Hier wird die Summe der Kehrwerte extremal klein.

Für x gegen 0 oder gegen unendlich wird die Summe extremal groß.

Comments

Warum stellst Du eigentlich derartige Komplettlösungen ein? Das finde ich irgendwie pervers!

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Weil wenn ich lerne auch an Komplettlösungen lerne und nicht häppchenweise.

Ihr wisst doch noch nicht mal wo der Fragesteller überhaupt Probleme hat.

Weiterhin habe ich keine Lust mich 7 mal mit ein und der gleichen Aufgabe zu beschäftigen. Und das passiert wenn man nur den nächsten Schritt sagt.

Aber wie dir aufgefallen ist habe ich zwar Ansätze und die Lösung. Die erforderlichen Zwischenschritte fehlen aber. D.h. der Hilfesuchende muss sich schon mit dem Ansatz beschäftigen. Weiß aber auch gleich, wenn er ein Ergebnis hat ob das richtig ist.

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Idealerweise stelle Mathe-Coach für alle Fragen gleich die Komplettlösungen ein ... dann kann er das Forum allein  betreiben ... und alle Fragesteller brauchen nur noch die Lösung abschreiben ...

Echte Zeitersparniss für beide Seiten!

Das Schüler hier über Ansätze mitdenken und selber einen Aha-Effekt haben ist hier doch eh nicht erwünscht ...

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Tja, das habe ich hier schon so oft gesagt, aber leider interessiert es keinen.

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Wie gesagt sind viele meiner Lösungen NICHT völlständig und nicht abschreibefähig.

Bei obiger Frage habe ich den Ansatz

S' = - 1/x²  + 1/(x - 6)² = 0

und die Lösung hingeschrieben. Es fehlt die komplette Rechnung und auch der Nachweis das es dich um einen Tiefpunkt handelt. Das sollte der Hilfesuchende zunächst selber probieren. Wenn er das nur abschreibt inkl der Lösung dann hilft ihm das vermutlich nicht etwas zu lernen aber das liegt in seiner Verantwortung und nicht in meiner.

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Ich stimme Mathecoach völlig zu: Einigen superschlauen Mathepädagogen entgeht ständig, dass Matheinteressierte auch an sogen. Komplettlösungen lernen können. Beim Schach ist es ähnlich: Manchmal greife ich zu einer unkommentierten Notation, manchmal nicht, wenn ich meine Überlegungen überprüfen/schärfen will. Ganz genau so handeln verantwortungsbewußte Schüler! Von einer "häppchenweise Zerstückelung" komplizierter, schwieriger Aufgaben halte ich nichts; denn der gedankliche Zusammenhang und damit das Interesse könnte verlorengehen. Ich empfehle einigen Kommentatoren sich in diesem Zusammenhang mit Lernpsychologie zu beschäftigen. Es wäre besser, den Lösungsablauf gedanklich, Schritt für Schritt, wenn möglich, zu erläutern (JotEs zum Vorbild).

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@hh914
Warum stellst Du eigentlich derartige Komplettlösungen ein?
Das finde ich irgendwie pervers!

ich finde du solltest dich
- in deiner Wortwahl mäßigen
- die Methode den gesamten Rechenweg darzulegen
kann durchaus Lerneffekte haben.

ich selbst habe mir die höhere Mathematik autodidaktisch,
in Ermangelung eines interaktiven Unterrichts, beigebracht.

Ein Lernen ist dadurch auch möglich.