Zahlenrätsel: Aus den Ziffern 1-9 werden drei dreistellige Zahlen gebildet

Question

Ich bekomme folgende Aufgabe nicht wirklich hin:

Aus den Ziffern 1-9 werden drei dreistellige Zahlen gebildet, wobei jede Ziffer genau einmal verwendet wird. Man ermittle den kleinsten Wert, den das Produkt der drei dreistelligen Zahlen annehmen kann.


Meine Idee:

Gesucht ist ja ein Minimum, also könnte ma ja vielleicht eine Funktion aufstellen und von dieser dann das Minimum berechnen. Ich weiß allerdings nicht, wie das gehen soll. Auch der begrenzte Bereich von 1-9 mit nu natürlichen Zahlen macht mir Probleme.

Answer 1

Wenn du dir überlegst, wie schriftlich multipliziert wird, weisst du, dass Hunderterstellen einen grösseren Einfluss auf das Resultat haben als Zehnerstellen und Zehnerstellen grösseren als als  Einerstellen.

 

Deshalb müsste  100          200              300

                                           40           50      60

                                          7                     8              9

geschickt zu 3 Zahlen zusammengezählt werden. 9 Möglichkeiten zu testen.

Wenn Rechtecke mit gegebener Seitensumme betrachtet, weiss man, dass die Fläche (Produkt) minimal wird, wenn eine Seite praktisch 0 und die andere a+b ist. Sind beide (a+b)/2 ist das Produkt maximal.

Hier muss man versuchen, die Zahlen so ungleich wie möglich zu machen.

Also vielleicht 147*258*369

Das ist jetzt nur ein Versuch. Prüf das bitte noch nach.

Comments

Hallo Lu,

Sind es nicht 36 Möglichkeiten, die getestet werden müssen?

Ich habe 6 Möglichkeiten die Zahlen der mittleren Reihe den oberen zuzuordnen, dasselbe bei der 3. Zeile

LG

Capricorn

Answer 2

Ich habe die drei Zahl erhalten: 147 258 369

Ich habe sie mit einem Visual-Basic-Programm ermittelt:

Dabei bin ich davon ausgegangen, dass eine Zahl mit 1 und eine andere mit 2 beginnt.

Es gibt 9! = 362880 Möglichkeiten, die Zahlen zu bilden. Wenn man davon ausgeht, dass eine Zahl mit 1, eine andere mit 2 und die 3. mit 3 beginnt, sind es noch 720 Möglichkeiten.

Sub dreiStelligeZahlen()
Dim w(7) As Integer
Z = 0
w(1) = 3
w(2) = 4
w(3) = 5
w(4) = 6
w(5) = 7
w(6) = 8
w(7) = 9
For h1 = 1 To 7
    For h2 = 1 To 7
        If h2 <> h1 Then
            For h3 = 1 To 7
                If h3 <> h1 And h3 <> h2 Then
                    For h4 = 1 To 7
                        If h4 <> h1 And h4 <> h2 And h4 <> h3 Then
                            For h5 = 1 To 7
                                If h5 <> h1 And h5 <> h2 And h5 <> h3 And h5 <> h4 Then
                                    For h6 = 1 To 7
                                        If h6 <> h1 And h6 <> h2 And h6 <> h3 And h6 <> h4 And h6 <> h5 Then
                                            For h7 = 1 To 7
                                                If h7 <> h1 And h7 <> h2 And h7 <> h3 And h7 <> h4 And h7 <> h5 And h7 <> h6 Then
                                                    Z = Z + 1
                                                    ActiveSheet.Cells(Z, 1).Formula = "1" & w(h1) & w(h2) & " * 2" & w(h3) & w(h4) & " * " & w(h5) & w(h6) & w(h7)
                                                End If
                                            Next
                                        End If
                                    Next
                                End If
                            Next
                        End If
                    Next
                End If
            Next
        End If
    Next
Next                        
End Sub

LG Capricorn

Answer 3

Die Kombination aus drei Ziffern ist 6, die kombination von 9 Ziffern ist 362880 bei n!

Vielleicht so:

 1 2 3           man wählt als erste Ziffer( Hunderterstelle) die mit den niedrigsen Wert  für jede der drei zu bildenden

 4 5 6          Zahlen, verfährt dann für die Zehnerstelle genauso, ebenso für die Einerstelle,.

 7 8 9

                          H      Z       E

Erste Zahl         1       4       7

Zweiite Zahl      2       5       8

Dritte                3        6       9

 

Produkt der drei Zahlen  13 994 694

Answer 4

Ich bin bei der Aufgabe auch ins Stocken gekommen.

Ich hatte den gleichen Ansatz wie Akelei, aber ich weiß nicht, ob das als Begrünung reichen würde?

Und, Capricorn, deinen Lösungsweg versteh ich nicht so wirklich. Wenn man davon ausgeht, dass jeweils 1,2 und 3 die erste Ziffer ist, dann kann man doch auch davon ausgehen, dass die nächste Ziffer 4,5 bzw. 6 ist, oder nicht?

Naja, vielleicht frag ich morgen einfach mal meinen Lehrer ob das als Begründung reicht.

Liebe Grüße,

Al

Comments

Ja, da hast Du natürlich recht. Dann hätte ich mit dem Programm auch nur 36 Fälle testen müssen. Das Programm hätte man natürlich auch einfacher machen können, nämlich mit rekursiven Aufrufen.

Danke für den Hinweis.

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Man muss eigentlich nicht alle Fälle testen, sondern man kommt aufgund von logischen Überlegungen aus meiner Sicht darauf.

{...} siehe Antwort

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Hi Bepprich und Willkommen :)

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Schöner Gruß,
Kai

Answer 5

Man muss eigentlich nicht alle Fälle testen, sondern man kommt aufgund von logischen Überlegungen aus meiner Sicht darauf.

Fest steht, dass man drei Zahlenblöcke zu je drei Ziffern hat. Dabei weiß man auch, dass die Zahlen, die in einem Block schon vergeben sind, in einen anderen Block nicht mehr vorkommen dürfen. Ferner ist logisch, dass die erste Zahl aus dem Bereich 1 bis 3, die zweite Zahl aus dem Bereich 4 bis 6 und die dritte Zahl aus dem Bereich 7 bis 9 gewählt werden sollten, falls das Produkt der drei Zahlenblöcke minimal werden soll.

Man kann sich das wie in einer Art "mathematischer Reihe (Produktreihe)" vorstellen:

1. Zahlenblock: a_1*b_1*c_1

2. Zahlenblock: a_2*b_2*c_2

3. Zahlenblock: a_3*b_3*c_3

Das Produnkt der drei Zahlenblöcke muss einem Minimum zustreben.

Also,  (a_1*b_1*c_1)*(a_2*b_2*c_2)*(a_3*b_3*c_3) -> Min

Bei einem Produktterm kann nur was gegen das Minimumgehen, wenn die einzelnen Terme für sich auch gegen ein Minimum streben.

Also,

(a_1*b_1*c_1) -> Min

(a_2*b_2*c_2) - > Min und

(a_3*b_3*c_3) - > Min

(a_1*b_1*c_1) hier findet man die Zahlen, wo der Term ein Minimum einnimmt: kleinste Zahl aus dem 1. Block = 1, kleinste Zahl aus dem 2. Block = 4 und kleinste Zahl aus dem 3. Block = 7

Somit sind die Zahlen 1, 4 und 7 vergeben.

Analog zum Term (a_2*b_2*c_2), kleinste Zahl aus dem 1. Block (Zahl 1 ist schon vergeben), also 2, kleinste Zahl aus dem 2. Block (Zahl 4 ist schon vergeben), also 5 und kleinste Zahl aus dem 3. Block (Zahl 7 ist schon vergeben), also 8.

Nun bleiben halt die Zahlen 3, 6 und 9 übrig.

147, 258 und 369 sind die gesuchten Zahlenkombinationen.