Logarithmische Spirale, Kreise schneiden um Nullpunkt in genau einem Punkt

Question

Hallo liebe Community.

Ich soll zeigen, dass f , für t ∈ℝ, jeden Kreis um den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet.
$$f(t)\quad =\quad \left( { e }^{ \frac { t }{ 2\pi  }  }cos(t),\quad { e }^{ \frac { t }{ 2\pi  }  }sin(t) \right) ,\quad -2\pi \quad \le \quad t\quad \le \quad 2\pi $$

In der 1. Aufgabe sollte ich diese Kurve zeichnen. Man erkennt direkt das die Spirale im Nullpunkt endet.
Doch wie soll ich das zeigen?

Comments

Die Idee kam mir gerade

jeder Kreis hat die Funktion
y = √ ( r^2 - x^2 ) = k ( x )

Schnittpunkt
f ( x ) = k ( x )

Wenn hier als Ergebnis herauskommt das nur 1 Schnittpunkt vorhanden
ist hast du es eigentlich schon.

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Hmm das hilft mir noch nicht wirklich weiter..
f(t) ist ja hier in der Aufgabe im Format (x,y)
aber k(x) (oder k(t) ) scheint nur ein x zu sein.

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Als eigenständige Antwort geschrieben.

Answer 1

Nehmen wir die Funktion g(t) als Kreis um den Ursprung mit dem Radius 1.

g(t) = (r * cos(t), r * sin(t))

Deine Funktion

f(t) = (e^t/[2pi] * cos(t), e^t/[2pi] * sin(t)) 

schneidet den Kreis nur an der Stelle wo die Radien der beiden Funktionen gleich sind.

e^t/[2pi] = r 

Wie viele Lösungen hat diese Gleichung jetzt? Eigentlich nur ganz genau eine

t/[2pi] = LN(r) 

t = LN(r) * 2pi

Comments

t ist doch dann der Punkt, der die "Mitte" repräsentiert oder?
Hier noch einmal ein Bild, wie die Funktion aus sieht: (für andere die ggf. auch dieses Problem haben)

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t ist die Variable. Davon hängt sowohl der Abstand zum Ursprung als auch der Winkel ab.

die Mitte ist hier der Ursprung.

Eigentlich ist nur der Grenzwert der Spirale der Ursprung und zwar für -unendlich. x- und y-Koordinate werden allerdings niemals exakt 0.