CAS Abitur 2015: Krümmungsverhalten?

Question

wir bearbeiten derzeit das diesjährige CAS Abitur. Ich muss nächste Stunde die Aufgabe 1 b) und c) der Analysis 1 des Prüfungsteils B vorstellen:

Gegeben ist die Funktion f(x)= 20 × ln [(20×x)/(1-x)] mit der Definitionsmenge D_f = ]0;1[

Der Grapf von f wird mit G_f bezeichnet.

b) Untersuchen Sie das Krümmungsveralten von G_f. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente w an G_f im Wendepunkt W von G_f.      (zur Kontrolle: x-Koordinate von W: 1/2)

c) Verschiebt man G_f  so, dass der Wendepunkt W im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion g. Geben Sie den Funktionsterm von g an.  Welche Folgerung für G_f  ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs ist?

Kann mir jemand bitte helfen? Ich stehe gerade komplett auf dem Schlauch. Danke schon mal im Voraus!

LG

Answer 1

Zunächst Ableitungen bilden

f(x) = 20·LN(20·x/(1 - x))
f'(x) = 20/(x·(1 - x))
f''(x) = 20·(2·x - 1)/(x^2·(x - 1)^2)

b)

Krümmungsverhalten f''(x) > 0

20·(2·x - 1)/(x^2·(x - 1)^2) > 0 --> x > 1/2 Der Graph ist für x > 1/2 links gekrümmt anderenfalls rechts gekrümmt.

t(x) = f'(1/2) + (x - 1/2) + f(1/2) = 20·LN(20) + x + 159/2 = x + 139.4

c)

g(x) = 20·LN(20·(x + 1/2)/(1 - (x + 1/2))) - 20·LN(20)

g(x) = 20·LN((2·x + 1)/(1 - 2·x)) [Die Vereinfachung brauchst du sicher nicht machen]

Wenn g punktsymmetrisch zum Ursprung ist ist f punktsymmetrisch zum Wendepunkt.