Ableitung von Ln Funktion

Question

Ableitung der LN-Funktion:

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(x \cdot \ln \left(\frac{x^{2}-1}{x}\right)\right) \)

Ansatz/Problem:

Nach der Quotientenregel komme ich nicht mehr weiter.

Comments

so denn die x^2+1/x^2 hätte ich nun in die Kettenregel eingesetzt also 1/(x^2-1/x)*x^2+1/x^2 <--also v'  ja dann gekürzt und dann in die Produktregel eingesetzt aber bei den Lösungen kommt was wirres raus.

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Ja das habe ich ja erkannt aber dir doch mal die Verwendete Kettenregel das Ergebnis aus der Produktregel wird dort nicht verwendet stattdessen etwas anderes und ich frag mich wie es aussehen würde wenn man das Ergebnis der QR dort in die KR einsetzen würde vorallem hatte ich grad eine ähnliche aufgabe dort kahm ich mit meinen Schritten auch zur Lösung .

Answer 1

Hier nur die Ableitung des ln ().
Vielleicht ist die handschriftliche Darstellung oder
eine Darstellung in TEX übersichtlicher.

Answer 2

Also den Schritt nach der Quotientenregel verstehst du nicht, der mit "Teilergebnis" anfängt?

Die wendest dort einfach die Kettenregel an.

Innere Ableitung mal äußere Ableitung:

Die innere Ableitung haben wir mit der Quotientenregel bereits gemacht.

Die äußere Ableitung ( Ableitung von ln(x)) ist 1/x.

Jetzt setzen wir in 1/x wieder unsere innere Funktion ( (x^2-1)/x) und multilpizieren diese mit der inneren Ableitung.

Den Rest müsstest du dann bestimmt wieder verstehen oder?

Answer 3

[x·LN((x^2 - 1)/x)]'
[x·LN((x^2 - 1)/x)]' = [x]'·[LN((x^2 - 1)/x)] + [x]·[LN((x^2 - 1)/x)]'
[x·LN((x^2 - 1)/x)]' = LN((x^2 - 1)/x) + x·[LN((x^2 - 1)/x)]'

Kümmern wir uns mal um den letzten Term mit Kettenregel

[LN((x^2 - 1)/x)]' = 1/((x^2 - 1)/x) · [(x^2 - 1)/x]'
[LN((x^2 - 1)/x)]' = 1/((x^2 - 1)/x) · [(x^2 - 1)/x]'

Letzter Term mit Quotientenregel

[(x^2 - 1)/x]' = ([x^2 - 1]'·[x] - [x^2 - 1]·[x]')/[x]^2
[(x^2 - 1)/x]' = (2·x·x - (x^2 - 1)·1)/(x)^2 = (x^2 + 1)/x^2

Einsetzen

[LN((x^2 - 1)/x)]' = 1/((x^2 - 1)/x) · [(x^2 - 1)/x]'
[LN((x^2 - 1)/x)]' = 1/((x^2 - 1)/x) · (x^2 + 1)/x^2
[LN((x^2 - 1)/x)]' = (x^2 + 1)/(x·(x^2 - 1))

Auch wieder einsetzen

[x·LN((x^2 - 1)/x)]' = LN((x^2 - 1)/x) + x·[LN((x^2 - 1)/x)]'
[x·LN((x^2 - 1)/x)]' = LN((x^2 - 1)/x) + x·(x^2 + 1)/(x·(x^2 - 1))
[x·LN((x^2 - 1)/x)]' = LN((x^2 - 1)/x) + (x^2 + 1)/(x^2 - 1)