Verständnisproblem bei einer Ableitung-ln/log

Question

Aufgabe:

hab folgende Funktion von der ich die Ableitung bilden möchte

f(x)=ca^-bx

Problem/Ansatz:

Hab die Ableitung natürlich schon Online mithilfe eines Ableitungsrechners gebildet, um meine Lösung zu vergleichen bzw. den Lösungweg nachvollziehen zu können.

Leider ergibt sich mir nicht, weshalb bei der Ableitung plötzlich ein log bzw. ein ln auftaucht.

Answer 1

Aloha :)

Hierbei kannst du ausnutzen, dass die Exponential-Funktion und die Logarithmus-Funktion Umkehrfunktionen zueinander sind, das heißt, die eine hebt die Wirkund der anderen auf:$$f(x)=c\cdot a^{-bx}=c\cdot e^{\ln\left(a^{-bx}\right)}$$Jetzt ziehst du den Exponenten \((-bx)\) mittels der Logarithmengesetze vor den Logaritmmus$$f(x)=c\cdot e^{-bx\,\ln(a)}$$und leitest nun mit Hilfe der Kettenregel die Exponentialfunktion ab:$$f'(x)=c\cdot\underbrace{e^{-bx\,\ln(a)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-b\ln(a))}_{=\text{innere}}=-bc\ln(a)\cdot e^{-bx\,\ln(a)}$$Jetzt kannst du wieder \(e^{-bx\,\ln(a)}=e^{\ln(a^{-bx})}=a^{-bx}\) zurück umwandeln:$$f'(x)=-bc\ln(a)\cdot a^{-bx}$$

Comments

Vielen Dank für deine und alle anderen Antworten.

Konnte es soweit nachvollziehen :).

Wünsche noch einen angenehmen Abend.

Answer 2

f(x) = c·a^(- b·x)

Ableitung von a^x ist ln(a)·a^x !

Jetzt nutzen wir die Kettenregel

f'(x) = c·(- b)·ln(a)·a^(- b·x) = - b·c·ln(a)·a^(- b·x)

Das war es schon.

Answer 3

Hallo,

die Ableitung von e^{rx} ist r*e^{rx} .

Bei a^{sx} nimmt man erst einen Basiswechsel vor.

a=e^{ln(a)}

Damit ist a^{sx}=(e^{ln(a)})^{sx}  =e^{ln(a)*sx} .

Abgeleitet ergibt das

ln(a)*s*e^{ln(a)*sx}

:-)

Answer 4

Faktor- und Kettenregel:

Es gilt:

f(x) = c*a^(bx) -> f '(x)= c*a^(bx)*b*lna = bc*lna*a^(bx)

da gilt: f(x) = a^x = e^(lna^x)= e^(x*lna) -> f '(x)= e^(x*lna)*lna = a^x*lna