Die Gleichung
\(3^x = 81\)
wird gelöst indem auf beiden Seiten der Logarithmus zur Basis 3 gezogen wird:
\(\begin{aligned} 3^{x} & =81 & & |\log_{3}\\ \log_3\left(3^{x}\right) & =\log_{3}\left(81\right)\\ x & =4 \end{aligned}\)
Hast du in deiner Gleichung eine andere Basis als \(3\), dann kannst du den Logarithmus zu dieser anderen Basis verwenden.
Der Logarithmus \(\ln\) ist der Logarithmus zur Basis \(\mathrm{e}\), der eulerschen Zahl.
Der Logarithmus \(\log\) ohne explizite Angabe der Basis ist der Logarithmus
- zur Basis \(10\), oder
- zur Basis \(\mathrm{e}\), oder
- zu einer Basis, die aus dem Zusammenhang klar ist, oder
- zu einer Basis, die nicht von Bedeutung ist.
Punkt 1. trifft oft bei Taschenrechnern zu. Punkt 2. ist in der Mathematik üblich. Punkt 3. ist mir noch nicht begegnet. Punkt 4 ist wegen des Logarithmusgesetzes
\(\log_a\left(b^c\right)=c\cdot \log_a(b)\)
möglich. Damit kann man nämlich die Gleichung
\(3^{x+1}=5^x\)
wie folgt lösen:
\(\begin{aligned} 3^{x+1} & =5^{x} & & |\log\\ \log\left(3^{x+1}\right) & =\log\left(5^{x}\right)\\ \left(x+1\right)\cdot\log\left(3\right) & =x\cdot\log\left(5\right)\\ x\cdot\log\left(3\right)+\log\left(3\right) & =x\cdot\log\left(5\right) & & |-x\cdot\log\left(3\right)\\ \log\left(3\right) & =x\cdot\log\left(5\right)-x\cdot\log\left(3\right)\\ \log\left(3\right) & =x\cdot\left(\log\left(5\right)-\log\left(3\right)\right) & & |:\left(\log\left(5\right)-\log\left(3\right)\right)\\ \frac{\log\left(3\right)}{\log\left(5\right)-\log\left(3\right)} & =x \end{aligned}\)
Überprüfe mit einem Taschenrechner, dass der Ausdruck \(\frac{\log_a\left(3\right)}{\log_a\left(5\right)-\log_a\left(3\right)}\) für verschiedene Werte von \(a\) ungefähr den gleichen Wert hat.
