Lineare Unabhängigkeit der Polynome untersuchen

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) der Vektorraum der Polynome aus \( \mathbb{K}[x] \) von Grad kleiner als 3, also der Form \( p(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x^{1}+a_{0} x^{0} \) Untersuchen Sie die lineare Unabhängigkeit der Polynome: \( p_{1}(x)=1 x^{2}+0 x^{1}+1 x^{0}, p_{2}(x)=2 x^{2}+2 x^{1}+ \) \( 0 x^{0}, p_{3}(x)=3 x^{2}+3 x^{1}+1 x^{0} \) für:

a) \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \)

b) \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_{2} \)

c) \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_{5} \)

Answer 1

Was spräche dagegen das Problem wie folgt zu betrachten?
 
$$p_1: \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} $$
$$p_2: \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} $$
$$ p_3: \begin{pmatrix} 3\\3\\1 \end{pmatrix} $$