Zeigen Sie, dass die Polynome p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} linear abhängig sind.

Question

Aufgabe a) habe ich gemacht, aber bei b) und c) weiß ich nicht weiter.

Gegeben seien die durch die Terme$$p_1 = 2 x^{3}-x-1\\ p_2=x^{3}+x^{2}-2 x \\ p_3= x^{2}-3 x+2$$ und$$p_4=4 x^{3}+x^{2}-6 x+1$$definierten Polynome \( p_{1}, \,p_{2}, \,p_{3},\, p_{4} \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) . \) Sei weiter \( U:=\operatorname{span}\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\right) . \)

(a) Zeigen Sie, dass die Polynome \(p_{1}, \,p_{2}, \,p_{3},\, p_{4}\) linear abhängig sind.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe (a) eine maximale Teilliste von \( p_{1}, \,p_{2}, \,p_{3},\, p_{4} \), die linear unabhängig ist.
(c) Bestimmen Sie alle \( \lambda \in \mathbb{R} \), für die das durch$$\quad(2 \lambda-1) x^{3}+(\lambda+2) x^{2}+(-\lambda+1) x+(-\lambda-3)$$definierte Polynom in \( U \) liegt.

Comments

(b)$$q_1 = x^3-1, \quad q_2=x^2-1, \quad q_3=x-1$$(c) $$\lambda =1$$

Answer 1

Um ein bisschen Kontext zu einem allgemeinen Vorgehen zu geben: Du willst ja herausfinden, ob die Gleichung

\( a p_{1}+b p_{2}+c p_{3}+d p_{4}=0 \)
nur die Lösung \( a=b=c=d=0 \) hat, in diesem Fall wären sie linear unabhängig. Im Allgemeinen kannst du jetzt versuchen, die obige Gleichung drei mal abzuleiten, und erhältst dann ein Gleichungssystem und bestimmst dann die Determinante dieser Funktionsmatrix. Hier ist es nun recht einfach, da wir es mit Polynomen zu tun haben, du kannst also einfach die Koordinatenvektoren in Bezug auf die kanonische Polynombasis betrachten (die Koordinatenabbildung ist ein Isomorphismus, und diese erhalten die lineare Unabhängigkeit), und erhältst dann ein lineares Gleichugnssystem der Form
\( \underbrace{\left[\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2& -3 & -6 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right]}_{:=\mathbf{A}}\left[\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \)
Nun gilt bekanntlicherweise
\( \mathcal{N}(\mathbf{A})=\{\boldsymbol{0}\} \Longleftrightarrow \operatorname{det}(\mathbf{A})\neq0 \)

(wenn du also zeigst, das die Determinante Null ist, so sind die Polynome linear abhängig)

Comments

"\( a p_{1}+b p_{2}+c p_{3}+d p_{4}=0 \) nur die Lösung \( a=b=c=d=0 \) hat, in diesem Fall wären sie linear abhängig."

Nein! In diesem Falle wären sie linear unabhängig.

Verschreiberlein?

Answer 2

Wähle den Ansatz

\( a \cdot  p_{1}+b \cdot p_{2} +c \cdot p_{3} + d \cdot p_{4} \) = 0-Polynom

sortiere nach Potenzen von x und weil deren Koeffizienten

alle =0 sein müssen, kannst du a,b,c,d bestimmen und es zeigt sich:

Alle müssen 0 sein.

Comments

Vielen Dank für die hilfreichen Antworten!! :)