Wie hoch ist der Wasserstand nach 4 Stunden?

Question

Aufgabe:

Ein quaderförmiges Schwimmbecken mit 10m Länge, 5m Breite und 4m Höhe wird über 9 Stunden mit Wasser gefüllt.

Zu Beginn beträgt der Wasserstand 0,4m.

Die Änderung der Wassermenge (in m3 pro Stunde) ist durch folgende Funktion gegeben:

a(t)= 0,03*t^3 + 0,2*t^2+2t

Wie hoch ist der Wasserstand (in m) nach 4 Stunden im Becken?

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Mich verwirrt total, dass hier der Wasserstand nach Stunden gefragt ist..Ich habe zwar ähnliche Fragestellungen gefunden, komm aber trotzdem nicht auf das richtige Ergebnis..

Danke im Voraus!:)

Comments

Vielen Dank!:)

Answer 1

Zu Beginn beträgt der Wasserstand 0,4m.

Bei 10m Länge und 5m Breite des Schwimmbeckens ergibt das ein Volumen von

        \(10\ \mathrm{m}\cdot 5\ \mathrm{m}\cdot 0,4\ \mathrm{m} = 20\ \mathrm{m}^3\)

Änderung der Wassermenge (in m3 pro Stunde) ... :

a(t)= 0,03*t³ + 0,2*t²+2t.

Änderung der Wassermenge innerhalb der ersten \(x\) Stunden ist

        \(\int\limits_0^x a(t)\mathrm{d}t\quad\left[m^3\right]\).

Wassermenge im Schwimmbecken nach \(x\) Stunden ist deshalb

      \(20 + \int\limits_0^x a(t)\mathrm{d}t\quad\left[m^3\right]\).

Den Wasserstand bekommst du indem du das durch die Grundfläche des Schwimmbeckens teilst.

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Was wäre in diesem Fall die Grundfläche?:)

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Wenn ich das Integral ausrechne komme ich auf 22,19. Muss ich das dann mit 20 addieren?

Answer 2

Die Änderungsrate der Wasserstandshöhe wäre doch

f(t) = 1/50·a(t) = 1/50·(0.03·t^3 + 0.2·t^2 + 2·t)

F(t) = 1/50·(3/400·t^4 + 1/15·t^3 + t^2) + 0.4

F(4) = 0.8437 m

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Wie kommt man nochmal auf die 1/50?:)

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50 ist die Querschnittsfläche des Beckens.

Wenn du ein Volumen durch die Querschnittsfläche teilst, bekommst du die Höhe.