Welche der folgenden Teilmengen sind wegzusammenhängend oder zusammenhängend?

Question

Ich soll sagen, welche folgenden Teilmengen wegzusammenhängend oder zusammenhängend sind:

M1={x=(x1,x2,x3): x1^2 + x2^2 < x3^2} ⊂ ℝ^3,

M2={x=(x1,x2,x3): x1^2 + x2^2 ≤ x3^2} ⊂ ℝ^3,

M3={x=(x1,x2):(x1∈ℚ)∧(x2∈ℚ)} ⊂ℝ^2 und

M4={x=(x1,x2):(x1∈ℚ)∨(x2∈ℚ)} ⊂ℝ^2 .

Ich würde ja anfangen diese Teilmengen zu skizzieren, weil ich dann ja meißtens schon ablesen kann, ob sie zusammenhängend oder wegzusammenhängend sind. Aber ich weiß leider nicht wie ich mir die Teilmengen vorstellen kann, um sie zu zeichen.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Danke

Comments

M1 und M2 haben als Rand einen unendlichen Kegel:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=infinite+cone&lk=1&a=ClashPrefs_*Surface.Cone-

Jetzt kann z betraglich einfach noch grösser sein.

Answer 1

Hier ein Bild, wie \(\{(x_1, x_2, x_3)\in\mathbb{R}^3\ |\ x_1^2+x_2^2=x_3^2\}\) aussieht: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%3Dz^2

Dann solltest du dir die ersten beiden Mengen vorstellen können.

Bei der dritten und vierten Menge wird's natürlich schwierig, die zu zeichnen.

Tipp: Aus Wegzusammenhang folgt Zusammenhang (andersrum nicht: Es gibt zusammenhängende Mengen, die nicht wegzusammenhängend sind).

Comments

ich würde sagen, dass denn

M2={x=(x1,x2,x3): x1² + x2² ≤ x3²} ⊂ ℝ³ 

wegzusammenhängend ist.

Und M1 nur zusammenhängend.

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Richtig, \(M_2\) ist wegzusammenhängend.
Aber wieso sollte \(M_1\) zusammenhängend sein?

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Warum ist M1Nicht zusammenhängend?

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Du weißt ja, wie \(M_1\) aussieht. Und dann solltest du zwei nichtleere disjunkte offene Teilmengen von \(M_1\) finden, deren Vereinigung ganz \(M_1\) ist.