Grenzwerte berechnen und Weg skizzieren, den die Punkte (x, y) bei Übergang zu vorangegangenen Grenzwerten nehmen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie $$\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 1$$

Berechnen Sie die Grenzwerte \( \lim \limits _ { x \rightarrow 0 + } \left( \lim _ { y \rightarrow 0 + } x ^ { y } \right) \) und \( \lim \limits _ { y \rightarrow 0 + } \left( \lim \limits _ { x \rightarrow 0 + } x ^ { y } \right) \) und skizzieren Sie den Weg, den die Punkte (x, y) bei Übergang zu den vorangegangenen Grenzwerten nehmen.

Ich muss erstens zeigen, dass der Grenzwert 1 ist und auch die anderen beiden Grenzwerte berechnen. Ich weiß nur, dass beim ersten Grenzwert Teilfolgen genutzt werden können und bei den anderen Grenzwerten der außere Limes jeweils als Konstante benutzt werden soll.

Answer 1

bei der 2. Aufgabe ist es wohl so:

sei x >0 dann ist lim ( y gegen 0+) von x^y    gleich 1,

weil für positives x der Term x^0 den Wert 1 hat.

sei hingegen y>0 dann ist lim ( x gegen 0+) von x^y    gleich 0

weil 0^y für positives y den Wert 0 hat.