Lösungsweg? HIILFE Klammern/Bruch/Potenzen für Nullstellen

Question

Benötige für folgende Aufgabe einen Lösungsweg:

3x² + 1                 x + 1

(2x + 1)^{2       -}         2x + 1

Sind zwei Brüche die subtrahiert werden sollen. Eine Nullstelle ist vermutlich 0. Dann ergibt sich 1-1=0. Laut Lösungsbogen (leider ohne Rechenweg) ist die zweite Nullstelle 3. Aber wie errechne ich das ? :(

Comments

Am Ende steht also ein "...=0"

Entweder du multiplizierst alles mit (2x+1)² oder fasst die Brüche zusammen indem du auf einen Hauptnenner bringst und dann die Nullstellen des Zählers berechnest. Im Grunde unterscheiden sich diese Wege nicht und liefern dir dieselbe quadratische Gleichung.

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Wie würde ich die beiden Brüche denn auf einen Hauptnenner bekommen ? Den rechten Zähler wie Nenner mit ² versehen ?

Answer 1

(3·x^2 + 1)/(2·x + 1)^2 - (x + 1)/(2·x + 1)

(3·x^2 + 1)/(2·x + 1)^2 - (x + 1)·(2·x + 1)/(2·x + 1)^2

(3·x^2 + 1)/(2·x + 1)^2 - (2·x^2 + 3·x + 1)/(2·x + 1)^2

((3·x^2 + 1) - (2·x^2 + 3·x + 1))/(2·x + 1)^2

(x^2 - 3·x)/(2·x + 1)^2

x·(x - 3) / (2·x + 1)^2

Nullstellen sie die Stellen bei denen der Zähler gleich Null ist. Der Nenner darf sowieso nie Null sein.

x·(x - 3) = 0

x = 0 oder x = 3 sind also die Nullstellen

bei x = -0.5 haben wir eine Polstelle. Diese Stelle gehört nicht zum Definitionsbereich.

Comments

Ok das multiplizieren mit (x+1) führt zur potenzierung des Nenners. Ist dann (x+1) ein MUSS im Zähler? Und wäre es wenn ich z.B. von x auf x³ im Nenner will (x²+1) ?

Und eine weitere Zwischenfrage wenn du erlaubst.

Wie komm ich auf den gleichen Nenner, wenn die Nenner sich nicht in der Potenz sondern im Vorzeichen eines Terms unterscheiden, z.B:

   x+1            x-1   

2x+1     -    2x -1

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Deine erste Frage verstehe ich nicht ganz.

Grundgesetzt der Bruchrechnung.

Willst du Bruch zu Bruch addieren,
Bruch von Bruch gar subtrahieren,
musst du sie vor allen Dingen,
auf den gleichen Nenner bringen.
Zähler dann zusammenfassen.
Nenner unverändert lassen.

Hat man also zwei verschiedene Nenner Erweitert man einfach beide Brüche

(x + 1)/(2·x + 1) - (x - 1)/(2·x - 1)

(x + 1)·(2·x - 1)/((2·x + 1)·(2·x - 1)) - (x - 1)·(2·x + 1)/((2·x + 1)·(2·x - 1))

(2·x^2 + x - 1)/((2·x + 1)·(2·x - 1)) - (2·x^2 - x - 1)/((2·x + 1)·(2·x - 1))

((2·x^2 + x - 1) - (2·x^2 - x - 1))/((2·x + 1)·(2·x - 1))

(2·x)/((2·x + 1)·(2·x - 1))

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Meine erste Frage bezog sich auf die Tatsache, dass wir ja das (...)² erzeugen mussten wodurch im zähler (x+1) erscheint. Würde ich aber in einer anderen Aufgabe (...)³ erzeugen wollen, erscheint dann oben (x²+1) erscheinen?

Zur Zweiten: Ist die Nullstelle dann nur =0?

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Das x + 1 war doch schon immer im Zähler.

(x + 1) / (2·x + 1) 

Muss ich den Nenner auf ()^3 bringen lautet das

(x + 1)(2·x + 1)^2 / (2·x + 1)^3 

Ich erweitere einfach so das das im Nenner steht was ich dort haben will.

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2x wird Null wenn x = 0 ist. Daher ist dort x= 0 die Nullstelle. Das hast du völlig richtig erkannt.

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Achso, ich habe einfach mit dem Nennerwert multipliziert. Wodurch der untere natürlich ²  wird und oben kommt es einfach hinzu. Verstanden! Stand auf dem Schlauch :D

Answer 2

Bei handschriftlicher oder Darstellung per TEX " sieht "
man eigentlich direkt das was gemacht wurde.