Gleichung von Tangente an f bestimmen, die parallel zur Geraden y verläuft. f(x)=3-(2-8x^3)^{1/3}.

Question

Hallo liebe Mathematikfreunde!
Mit folgender Aufgabe komme ich leider nicht wirklich zurecht, kann mir dabei bitte jemand helfen? Hier die Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f(x)=3-(2-8x^3)^{1/3}. Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graphen von f, die parallel zur Geraden y=2x verläuft.
Also im Prinzip komme ich ja mit diesem Aufgabentyp zurecht, aber diese 3. Wurzel (ich habe hier (....)^1/3 geschrieben) stört mich extrem und damit kann ich bisher nicht wirklich etwas anfangen. Zuerst habe ich den Anstieg von y "berechnet": m=f'(x)=2 (entspricht Anstieg Tangente). Danach müsste ich jdie Fkt. f ableiten - und diese Ableitung mit der 2 gleichsetzen, oder? So würde ich auf meinen x-Wert kommen, welchen ich später in y=mx+n einsetze. Und auf den y-Wert komme ich doch, wenn ich den x-Wert in die Funktion f einsetze.
So wie ich es jetzt beschrieben habe haben wir es in der 11. Klasse gemacht, da war die Fkt. f aber auch um einiges einfacher........es kann also auch sein dass das kompletter Schwachsinn ist, korrigiert mich bitte. Sry......
Wenn ich f also mittels Kettenregel ableite komme ich darauf: -8x^2(2-8x^3)^-2/3 Stimmt die Ableitung? Wenn ja, müsste ich diese jetzt mit 2 gleichsetzen und x berechnen, aber da hört es bei mir leider auf......Kann mir das mal bitte jemand vorrechnen? Dankeschön!!!! Und entschuldigt diesen langen Text, aber ich dachte es ist vielleicht nicht verkehrt wenn ihr seht dass ich mir auch Gedanken mache und nicht nur die Frage stelle und dann das Ergebnis abschreibe. :)

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Das Minus vor der (linken) 8 ist falsch, nach dem Gleichsetzen kannst Du mit \(-3/2\) potenzieren.

PS: Es dürfte genügen, mit \(3\) zu potenzieren.

Answer 1

Gesucht wir zunächst der Punkt welcher die Steigung von y hat
f ´( x )  = 2

f ( x )= 3 - ( 2 - 8 * x³ )^{1/3}
f ´( x )  = - 1/3 * ( 2 - 8 * x^3 ) ^{1/3-1} * ( -24 * x^2 )
f ´( x ) = 8 * x^2 * ( 2 - 8 * x^3 )^{-2/3}

8 * x^2 * ( 2 - 8 * x^3 )^{-2/3} = 2
4 * x^2= 1 /  ( 2 - 8 * x^3 )^{-2/3} = ( 2 - 8 * x^3 )^{2/3} | ( ) ^3
64 * x^6 = ( 2 - 8 * x^3 )^2
Ersetzen : z = x^3
64 * z^2 = ( 2 - 8 * z )^2
64 * z^2 = 4 - 32 * z + 64 * z^2
4 - 32 * z = 0
z = 0.125 =  1 / 8
Zurückersetzen
x = 1 / 2

f ( 1/2 ) = 2
f ´( 1/2 ) = 2
Tangentengleichung
t ( x ) = 2 * x + b
t ( 1/ 2  ) = 2 * 1/2 + b = 2
2 * 1/2 + b = 2
b = 1

t ( x ) = 2 * x + 1

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Dankeschön für Ihre ausführliche Antwort. :-) Leider kann ich noch nicht alle Schritte genau nachvollziehen. Genauer gesagt weiß ich nicht was Sie gemacht haben, nachdem Sie die 2 (den Anstieg) und die 1. Ableitung von f gleichgesetzt haben. Können Sie mir das nochmal kurz erklären? !!

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Hier zunächst eine symbolische Skizze

rot ist die gegebene Gerade mit dem Proportionalitätsfaktor /
Steigung = 2

Diese wird nun parallel zur Kurve hin verschoben.
Die Tangente im Berührpunkt hat auch die Steigung 2

1.Ableitung = Steigung
f ´( x ) = 2

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Okay dankeschön, das weiß ich aber bereits bzw. die mathematischen Zusammenhänge sind mir relativ klar.

Mir geht's mehr um das "rechnen" im eigentlichen Sinne.....

Du hast geschrieben: 8x^2(2-8x^3)^-2/3=2 

Bis dahin kann ich dir auch folgen und soweit bin ich ja auch gekommen (bis auf meinen Vorzeichenfehler).

Aber wie kommst du danach auf 4x^2=1/(2-8x^3)^-2/3=(2-8x^3)^2/3 | ()^3 ........??????

Also ich verstehe die Rechenschritte nicht......die Substitution später kann ich auch nachvollziehen, diesen von mir beschriebenen Schritt aber leider nicht :/ Kannst du mir das bitte nochmal etwas ausführlicher erklären?

!! :)

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Hier die Rechensschritte im einzelnen

8 * x² * ( 2 - 8 * x³ )^-2/3 = 2 | : 2
4 * x² * ( 2 - 8 * x³ )^-2/3 = 1 | : ( 2 - 8 * x³ )^-2/3
4 * x² * 1 = 1 /  ( 2 - 8 * x³ )^-2/3  | allgemein : 1 / a^{-b} = a^b
4 * x² = ( 2 - 8 * x³ )^2/3 

bei Bedarf weiter fragen.

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Dankeschön!!!!

Jetzt kann ich es komplett nachvollziehen :-)

Answer 2

So, ich hab's mir noch mal genauer angeguckt (Fehler natürlich dennoch nicht ausgeschlossen).
$$ 8x^2\cdot\left(2-8x^3\right)^{-\frac 23} = 2 \quad|\quad ()^3 \\\,\\ \frac {2^9\cdot x^6}{\left(2-8x^3\right)^2} = 2^3. $$Das führt auf eine quadratische Gleichung über den Term \(x^3\).