Ganzrationale Funktion, Parameter für bestimmte Fälle berechnen

Question

Gegeben ist f_k(x)=1/3x(x^2-6kx+12k), k∈R, D_fk=R

Die Aufgabe lautet: Finde heraus, für welchen Wert (bzw. welche Werte) des Parameters k die Funktion f_k...

a) eine Nullstelle hat

b) eine doppelte und eine einfache Nullstelle hat

c) drei einfache Nullstellen hat

d) genau eine einfache Nullstelle hat

Bitte helft mir, ich schreibe morgen eine Arbeit!

Answer 1

f(x) = 1/3·x·(x^2 - 6·k·x + 12·k)

Eine Nullstelle ist eh immer bei x = 0. Weitere Nullstellen sonst bei

x^2 - 6·k·x + 12·k = 0

x = 3·k - √(9·k^2 - 12·k)

Untersuchung der Diskriminante

9·k^2 - 12·k = 0

k = 0 ∨ k = 4/3

a) eine Nullstelle hat

k = 0 [dreifache Nullstelle]
0 < k < 4/3 [eine einfache Nullstelle]

b) eine doppelte und eine einfache Nullstelle hat

k = 4/3

c) drei einfache Nullstellen hat

k < 0 oder k > 4/3

d) genau eine einfache Nullstelle hat

0 < k < 4/3

Comments

b.) und c.) sind richtig

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a) und d) sind vertauscht.

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steht bei a.) "dreifache" ?

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Ok. Danke für die Tipps. Ich hoffe jetzt ist das korrekt.

Answer 2

f_k(x)=1/3x(x²-6kx+12k), k∈R, D_fk=R

Die Aufgabe lautet: Finde heraus, für welchen Wert (bzw. welche Werte) des Parameters k die Funktion f_k...

a) eine Nullstelle hat

x=0 ist Nullstelle für alle beliebigen k. Also k€R.

b) eine doppelte und eine einfache Nullstelle hat

Entweder ist x=0 die doppelte Nullstelle:

Dann muss gelten (x²-6kx+12k) = x (x-q)  und q≠0

Aber x(x-q) = x^2 - qx + 0 und wegen 12k = 0 -> k=0

==> -6k = q = 0 widerspricht der Annahme.

==> die dpppelte Nullstelle ist nicht x=0.

D = b^2 - 4ac = 0

36k^2 - 48k = 0

12k ( 3k-4) = 0 ==> k= 4/3

c) drei einfache Nullstellen hat

D = b^2 - 4ac > 0

36k^2 - 48k > 0

12k ( 3k-4) > 0

==> k> 4/3

d) genau eine einfache Nullstelle hat

D = b^2 - 4ac < 0

36k^2 - 48k < 0

12k ( 3k-4) < 0

==> k < 4/3