Ganzrationale Funktion: f(x) = ax^4-5x^2+6

Question

Eine ganzrationale Funktion des 4 Grades ist gegeben >> f(x) = ax^4-5x^2+6

Nun die Frage ist, kann sich bei Veränderung des Parameters a bsp a>0 die Eigenschaften ändern, also dass es zu drei Extrema kommt

Comments

Hier kannst du schauen, was passiert, wenn sich a ändert:

~plot~ 7*x^4-5x^2+6;[[20]];-7*x^4-5x^2+6;7*x^4-5x^2+6;2*x^4-5x^2+6 ~plot~

Einfach anstelle der 7 unterschiedliche Zahlen eingeben. 

Answer 1

f(x) = a·x^4 - 5·x^2 + 6

Ja. Nahe der x-Achse sieht die Funktion aus wie

y = - 5·x^2 + 6

Also eine nach unten geöffnete Parabel. Wenn a jetzt > 0 ist gibt es drei Extremstellen.

Wenn a < 0 dann gibt es nur einen Hochpunkt.

Rechnerisch

f'(x) = 4·a·x^3 - 10·x = x·(4·a·x^2 - 10) = 0

4·a·x^2 - 10 = 0

x = ± √(10 / (4·a)) Hier muss a auf jedenfall positiv sein, damit es mehr als einen Extrempunkt gibt.