Der Graph f: y = x^3 + px + q hat die Wendetangente w: 3x + 2y - 4 = 0

Question

Der Graph der Funktion f: y = x^3 + px + q hat die Wendetangente w: 3x + 2y - 4 = 0.

Ermittle die Funktionsgleichung von f!

 

Nun bin ich schon soweit gekommen, dass der Wendepunkt an der Stelle W (0/2) liegt.

Und ich hab auch schon herausgefunden, dass q =2. (wenn das soweit stimmt :) )

Doch wie kann ich jetzt p berechnen??

 

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Danke :)

Comments

Na wenn du schon einen Punkt hast, dann setz ihn doch einfach in f(x) ein...

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Was nichts bringt, da damit nur q bestimmt werden kann, aber nicht p.

-> ...p*0...

 

Tipp: Ableitung berücksichtigen, welche dank der Tangente bekannt ist.

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Hier stand mal Quatsch :-)

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Die Lösung ist ja, dass p = - 1,5 ist.. das weiß ich ja, aber ich weiß nicht wie man da drauf kommt :D

Answer 1

3x + 2y - 4 = 0
y = 2 - 1.5·x

Die Wendetangente hat die Steigung -1.5.

f(x) = x^3 + px + q

f'(x) = -1.5 --> Steigung im Wendepunkt muss -1.5 sein
3·x^2 + p = -1.5

f''(x) = 0 --> Im Punkt x muss ein Wendepunkt vorliegen
6x = 0
x = 0

3·0^2 + p = -1.5
p = -1.5

f(x) = 2 - 1.5·x --> Die y-Koordinate des Wendepunktes ergibt sich aus der Wendetangente.
f(x) = 2

f(x) = x^3 - 1.5x + 2

 

Comments

dankeschön, hab jetzt alles kapiert :)

Answer 2

Hi,

Du hast bereits f(x)=x^3+px+2 bestimmt (womit Du q=2 bereits korrekt bestimmt hast).

Verbleibt noch p.

Wir kennen die Wendetangente und damit die Ableitung/Steigung von f(x) an der Stelle 0.

 

f'(x)=3x^2+p

Da die Tangente die Steigung m=-3/2 hat:

f(0)=-3/2=3*0^2+p=p

 

Folglich ist p=-3/2 und q=2 und damit f(x)=x^3-3/2*x+2.

 

 

Grüße

 

Comments

ah hört sich logisch an, danke :)

 

aber woher weiß man, dass die Steigung der Tangente -1,5 ist?

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Eine Tangente gibt immer die Steigung an einem Punkt an. Sie berührt den eigentlich Graphen ja nur ;).