Aufgabe:
Gegeben ist das Vektorfeld \( \vec{v}(\vec{r}) \) nach folgender Abbildung. Es ist auf den Ursprung gerichtet und sein Betrag \( |\vec{v}(\vec{r})| \) ist gleich g. Das Feld entspricht dem Gravitationsfeld nahe der Erdoberfläche.
Es soll nun eine Masse \( m \) vom Punkt \( \mathrm{P}_{1} \) zum Punkt \( \mathrm{P}_{2} \) transportiert werden. Als Weg \( \int \) wird die gestrichelt eingezeichnete, geradlinige Verbindung gewählt.
Abbildung: Gravitationsfeld eines Korpers
a) Geben Sie das Vektorfeld \( \vec{v}(\vec{r}) \) in Kugelkoordinaten sowie in kartesischen Koordinaten an.
b) Welche Kraft \( \vec{F} \) wirkt auf die Masse \( m \) ?
Lösung:
a)
i) \( \vec{v} \) in kartesischen Koordinaten
Ortsvektor eines Punktes:
\( \vec{r}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \text { mit }|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \)
Einheitsvektor zum Ursprung zeigend:
\( \vec{e}_{r}=-\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \)
Mit \( |\vec{v}(\hat{r})|=\mathrm{g} \) ergibt sich
\( \vec{v}(\vec{r})=|\vec{v}(\vec{r})| \vec{e}_{r}=-\frac{\mathrm{g}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \)
ii) \( \vec{v} \) in Kugelkoordinaten
\( \vec{v}(\vec{r})=-g \vec{e}_{r}=-g\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -g \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
Ansatz/Problem:
Warum beträgt die Einheitsvektor für r hier in Kugelkoordinatensystem (1, 0, 0)?
Der Vektor ist parallel zu y, z Achse und nicht zu x, warum (1, 0, 0)?
