Antwort mit KI erzeugt
Umrechnung des Vektorfelds in kartesische Koordinaten
Um das gegebene Vektorfeld \( \vec{F}(r, \varphi, \vartheta) = r^{2} \overrightarrow{e_{r}} + r^{2} \sin \vartheta \overrightarrow{e_{\varphi}} \) von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten umzuwandeln, verwenden wir die Beziehungen zwischen diesen Koordinatensystemen sowohl für die Koordinatenpunkte als auch für die Basisvektoren.
Die Umrechnung von Kugelkoordinaten \((r, \varphi, \vartheta)\) in kartesische Koordinaten \((x, y, z)\) ist wie folgt definiert:
\(
\begin{aligned}
x &= r \sin \vartheta \cos \varphi \\
y &= r \sin \vartheta \sin \varphi \\
z &= r \cos \vartheta
\end{aligned}
\)
Die Basisvektoren transformieren sich von Kugelkoordinaten zu kartesischen Koordinaten wie folgt:
1. Der radiale Basisvektor \( \overrightarrow{e_{r}} \) wird zu:
\(
\overrightarrow{e_{r}} = \sin \vartheta \cos \varphi \hat{i} + \sin \vartheta \sin \varphi \hat{j} + \cos \vartheta \hat{k}
\)
2. Der azimutale Basisvektor \( \overrightarrow{e_{\varphi}} \) wird zu:
\(
\overrightarrow{e_{\varphi}} = -\sin \varphi \hat{i} + \cos \varphi \hat{j}
\)
3. Der polare Basisvektor \( \overrightarrow{e_{\vartheta}} \) (der in der gegebenen Aufgabenstellung nicht direkt beteiligt ist, aber der Vollständigkeit halber aufgeführt wird) wird zu:
\(
\overrightarrow{e_{\vartheta}} = \cos \vartheta \cos \varphi \hat{i} + \cos \vartheta \sin \varphi \hat{j} - \sin \vartheta \hat{k}
\)
Um die Umwandlung vorzunehmen, ersetzen wir \( \overrightarrow{e_{r}} \) und \( \overrightarrow{e_{\varphi}} \) durch ihre entsprechenden Ausdrücke in kartesischen Koordinaten und multiplizieren diese mit den jeweiligen Komponenten des Vektorfelds:
\(
\begin{aligned}
\vec{F} &= r^{2} (\sin \vartheta \cos \varphi \hat{i} + \sin \vartheta \sin \varphi \hat{j} + \cos \vartheta \hat{k}) + r^{2} \sin \vartheta (-\sin \varphi \hat{i} + \cos \varphi \hat{j}) \\
&= r^{2} \sin \vartheta \cos \varphi \hat{i} + r^{2} \sin \vartheta \sin \varphi \hat{j} + r^{2} \cos \vartheta \hat{k} - r^{2} \sin \vartheta \sin \varphi \hat{i} + r^{2} \sin \vartheta \cos \varphi \hat{j} \\
&= (r^{2} \sin \vartheta \cos \varphi - r^{2} \sin \vartheta \sin \varphi) \hat{i} + (r^{2} \sin \vartheta \sin \varphi + r^{2} \sin \vartheta \cos \varphi) \hat{j} + r^{2} \cos \vartheta \hat{k} \\
&= r^{2} \sin \vartheta (\cos \varphi - \sin \varphi) \hat{i} + r^{2} \sin \vartheta (\sin \varphi + \cos \varphi) \hat{j} + r^{2} \cos \vartheta \hat{k}
\end{aligned}
\)
Bei genauerer Betrachtung meiner letzten Umformung erkenne ich einen Fehler in der Zusammenführung der Terme. Ich korrigiere diesen jetzt korrekt:
\(
\vec{F} = r^{2} \sin \vartheta \cos \varphi \hat{i} + r^{2} \sin \vartheta \sin \varphi \hat{j} + r^{2} \cos \vartheta \hat{k}
\)
Diese Form ist die korrekte Darstellung des Vektorfeldes in kartesischen Koordinaten, basierend auf den ursprünglichen Missverständnissen bei der Kombination der Basisvektoren. Tatsächlich basiert das Endergebnis direkt auf den Definitionen der Umrechnungen von Kugel- zu kartesischen Koordinaten und meiner fehlerhaften Kombination der Terme, die korrigiert wurde.
