Volumenintegral berechnen Kugelkoordinaten

Question

Aufgabe:

Eine kosmische Gaswolke hat eine Dichtefunktion
\( \rho(\vec{r})=\frac{2}{r^{2}(r+1)^{2}} \)
Es wird erwartet, dass die Wolke zu einem Zeitpunkt in der Zukunft unter ihrer eigenen Schwerkraft kollabiert und sich in einen Himmelskörper verwandelt. Berechne die Masse dieses Himmelskörpers \( M \) :
\( \vec{M}=\iiint_{\Omega} \rho(\vec{r}) d V \)
Hinweis: Die Gaswolke wird als unendlich groß angenommen, mit sphärischer Symmetrie und Mittelpunkt bei \( r=0 \). Benutze Kugelkoordinaten und integriere über das Volumen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass das Volumenelement der Kugelkoordinaten \(\mathrm{d} V=r^{2} \sin \theta \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta \mathrm{d} r\) ist, weiß aber noch nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Soll ich einfach die Dichte und das Volumenelement einsetzen und darüber integrieren? Die Grenzen für die Winkel 0 bis 2pi wählen? Welche Grenzen nehme ich dann aber für den Radius?

Mit freundlichen Grüßen Simplex

Answer 1

Aloha :)

Die gegebene Dichtefunktion hat Kugelsymmetrie, weil sie nur vom Betrag des Orsvektors abhängt. Daher drängen sich hier Kugelkoordinaten geradezu auf:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\infty)\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in[0;\pi]$$Die Masse \(M\) der Gaswolke ist damit:

$$M=\int\limits_V\rho(\vec r)\,dV=\int\limits_{r=0}^\infty\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\frac{2}{r^2(r+1)^2}\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{M}=\int\limits_{r=0}^\infty\frac{2}{(r+1)^2}\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\sin\vartheta\,d\vartheta=\left[-\frac{2}{r+1}\right]_0^\infty\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\cos\varphi\right]_0^\pi$$$$\phantom{M}=\left(0+2\right)\cdot(2\pi-0)\cdot(1-(-1))=8\pi$$