Wie integriere ich das Volumen eines prolaten Hohlspheroids?

Question

Ich möchte das Volumen eines prolaten Hohlspheroiden durch Integration in spheroidalen Koordinaten berechnen. Dies ist nur die Probe für die spätere Integration einer Funktion in diesen Koordinaten. Da aber bereits die Volumenberechnung fehlschlägt möchte ich nicht fortfahren.

Zur Probe habe ich das Volumen eines Spheroiden durch integration berechnet.

\( \int \limits_{1}^{a / \sqrt{a^{2}-b^{2}}} d \sigma \int \limits_{-1}^{l} d \tau \int \limits_{0}^{2 \pi} d \phi\left(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{3}\left(\sigma^{2}-\tau^{2}\right)=4 / 3 \pi a b^{2} \)

Dann habe ich damit durch Differenzbildung eines um t größeren Spheroids das Volumen eines Hohlspheroids berechnet.

\( \frac{4}{3} \pi(a+t)(b+t)^{2}-4 / 3 \pi a b^{2}=\frac{4}{3} \pi t\left((b+t)^{2}+a(2 b+t)\right) \)

Wenn ich nun aber diese Volumen direkt durch Integration erhalten möchte so bekomme ich

\( \int \limits_{a / \sqrt{a^{2}-b^{2}}}^{(a-t) / \sqrt{a^{2}-b^{2}} } d \sigma \int \limits_{-1}^{1} d \tau \int \limits_{0}^{2 \pi} d \phi\left(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{3}\left(\sigma^{2}-\tau^{2}\right)=\frac{8}{3} a^{2} \pi t+\frac{4}{3} b^{2} \pi t+4 a \pi t^{2}+\frac{4 \pi t^{3}}{3} \)

Und dies unterscheidet sich in 3 Termen voneinander:

\( \frac{8}{3} a^{2} \pi t+\frac{4}{3} b^{2} \pi t+4 a \pi t^{2}+\frac{4 \pi t^{3}}{3} \neq \frac{8}{3} a b \pi t+\frac{4}{3} b^{2} \pi t+\frac{4}{3} a \pi t^{2}+\frac{8}{3} b \pi t^{2}+\frac{4 \pi t^{3}}{3} \)

Über einen Hinweis auf meinen Fehler wäre ich sehr dankbar. Ich vermute, dass ich etwas bei den Grenzen vielleicht nicht richtig mache.

Answer 1

Zur Vorwarnung, ich selbst bin nur angehender ElektroIngenieur und kein Mathematiker, nimm deshalb nicht alles gleich für bare Münze.

Wieso verwendest du kartesische Koordinaten? Mit einer passenden Transformation könntest du die Problematik in Kugelkoordinaten verwandeln, was das Integrieren deutlich vereinfacht. Ob und welchen Fehler du gemacht hast, habe ich auf den ersten Blick nicht gesehen, wenn du aber folgende Transformation verwendest wird alles deutlich übersichtlicher

x=a*r*cos(phi)*cos(theta)

y=b*r*sin(phi)*cos(theta)

z=c*r*sin(theta)

ergibt sich das Integral zu (da die Funktionalmatrix Zeilenweise mit a,b respektive c gestreckt wird und wir uns an unseren Kurs in Linearer Algebra erinnern ergibt sich die Jacobi-Determinante zu a*b*c*r^2*cos(theta))

integrate(a*b*c*r^2*cos(theta), 0 -> r , 0 -> 2*pi , -pi/2 -> pi/2)

Hohl wird der Körper nun einfach indem du r nicht von 0->r gehen lässt sondern von dem Innenradius zum Aussenradius. Vielleicht verwendet ihr eine andere Definition für theta, beliebt ist zum beispiel auch theta von 0 bis pi gehen zu lassen, damm musst du einfach sinus ond cosinus für theta vertauschen.

als Ergebnis des Volumenintegrals des VollEllipsoids ergibt sich 4/3*pi*a*b*c*r^3, setzt du nun zwei Achsen gleich gestreckt erhältst du dein Resultat.

Die Transformation rührt daher, dass ein Ellipsoid als Potentialfläche betrachtet ja die Form:

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=r^2

setzt du nun meine Transformation ein, kürzen sich die Streckungsfaktoren weg und übrig bleibt,(Unter verwendung der gewöhnlichen harmonischen Identitäten)

r^2=r^2

Comments

An diesen Ansatz hatte ich nicht gedacht - vielen Dank. Zumindest hilft es mir in diesem ersten Schritt das richtige Volumen zu erhalten. Dies ist allerdings erst die Vorstufe zu meinem eigentlichen Problem.

Ziel ist es eine e-Funktion, die an der Oberfläche des Rotationsellipsoids beginnt und radial verläuft, über eine bestimmte Schichtdicke integrieren. Für eine Kugel würde die Funktion lauten:

A*exp(-(r-D/2)/B) r^2 sin(theta) dr dtheta dphi, D/2->D/2+t, 0->pi, 0->2pi
B ist dabei ein Parameter und D/2 der Radius der Kugel. Beim Ellipsoid müsste ich dann D/2 ersetzen durch ein entsprechendes Äquivalent. Bzw. ist diese Integration so überhaupt möglich?

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Der "Radius" der Kugel ist ja von deinen Streckungsparametern abhängig, am einfachsten ist du nimmst an es handle sich dabei um eine Einheitskugel und streckst die dann in alle Richtungen, bis du die gewünschte Form hast.

also wenn du damit meinst, dass jeweils die Hälfte des Radius in alle Richtungen Teil des Hohlraumes ist, also nur die Hälfte Teil des Körpers. Dann ist es so machbar. Dies bedeutet, dass die Schichtdicke mit dem Streckungsfaktor variiert, andernfalls müsstest du tatsächlich kartesich oder zumindestens mit einer anderen Parametrisierung rechnen.

Achtung noch bei deiner Jacobi Determinante, durch das dass du nicht kugelförmige, sondern elliptische Koordinaten verwendest, musst du sie mit a*b*c strecken, also entweder

a*b*c*r^2*cos(theta) [-pi/2,pi/2] finds schöner so

oder

a*b*c*r^2*sin(theta) [0,pi] geht aber auch gut

also falls die Schichtdicke variabel sein darf:

dann kannst du einfach den Einheitskreis nehmen r von [meine Prozentzahl Hohlraum,1] gehen lassen und dann ists gelöst. die Streckungsfaktoren a,b respektive c ergeben sich dann als eigentliche Aussenradien entlang den enstprechenden Achsen.

wenn du also zb. in x - Richtung einen Radius von 5 und in y Richtung einen Radius von 3 hast. so ist a=5  und c=3. wenn du allenfalls nicht den Einheitskreis nimmst kannst du analog dazu die Faktoren berechnen.

Andernfalls würde ich überlegen einen Mathematiker aufzusuchen, da dies ein sehr spezieller Fall ist und ich heute schon in der Analysis 4h geprüft wurde und dank sommerlichem Wetter nicht so in der Stimmung bin.

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Ich habe den fall konstanter Schichtdicke nochmals überdacht,

dann würde ich, sowie du es anfangs vorgeschlagen hast tatsächlich ein Integral für ein Aussenellipsoid und ein Integral für ein Innenellipsoid aufstellen und die dann subtrahieren.

zu beachten hierbei ist, dass die Streckungsfaktoren des Innenellipsoides nicht dieselben sein können wie jene des Aussenellipsoids ( ausser im Falle der Kugel, oder variabler schichtdicke)

damit erreichst du konstante schichtdicke.

bsp.

in x Richtung ist der Aussenradius 5 und die schichtdicke soll 1 betragen.

dann ist  a-aussen = 5 und a-innen = 4,

dasselbe in den anderen drei Koordinaten. über beide Integrieren und das Resultat subtrahieren.

Dieser Umstand ist aber nur notwendig falls du eine konstante schichtdicke zu berechnen wünschst