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Volumen des Tetraeders A(0,0,0), B(3,0,6), C(1,6,2), Da(5-2a,11,a)
Um das Volumen des Tetraeders zu berechnen, können wir die Determinantenmethode verwenden. Gegeben sind die Punkte \(A(0,0,0)\), \(B(3,0,6)\), \(C(1,6,2)\) und \(D_a(5-2a,11,a)\). Wir bilden zunächst die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) und \(\overrightarrow{AD_a}\) basierend auf den gegebenen Punkten.
\(
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3 - 0\\0 - 0\\6 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}1 - 0\\6 - 0\\2 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\6\\2\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AD_a} = \begin{pmatrix}5-2a - 0\\11 - 0\\a - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5-2a\\11\\a\end{pmatrix}
\)
Das Volumen \(V_{T_a}\) des Tetraeders berechnen wir wie folgt:
\(
V_{T_a} = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix}
3 & 0 & 6 \\
1 & 6 & 2 \\
5-2a & 11 & a \\
\end{vmatrix} \right|
\)
Wir berechnen die Determinante:
\(
\begin{aligned}
\left| \begin{matrix}
3 & 0 & 6 \\
1 & 6 & 2 \\
5-2a & 11 & a \\
\end{matrix} \right| & = 3(6a - 22) - 0(1\cdot a - 2(5-2a)) + 6(11 - 6(5-2a)) \\
& = 18a - 66 + 66 - 6\cdot 30 + 72a \\
& = 90a - 246
\end{aligned}
\)
Nun setzen wir es in die Volumenformel ein:
\(
V_{T_a} = \frac{1}{6} \left| 90a - 246 \right|
\)
Das bedeutet:
\(
V_{T_a} = \frac{1}{6} \cdot (90a - 246) = 15a - 41
\)
Senkrechter Vektor auf eine Ebene und besondere Lage im Dreieck
Ohne Rechnung können wir begründen, dass der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) senkrecht auf der Ebene \(F\), die durch die Punkte \(H\), \(C\) und \(D_a\) verläuft, steht, indem wir die besondere Bedingung von senkrechten Vektoren in Geometrie und Vektorrechnung betrachten. Für einen Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht, ist dieser orthogonal zu jeder Richtung innerhalb der Ebene.
Ohne spezifische Berechnung oder Angaben zu \(H\), basierend auf der Fragestellung, kann nicht direkt angegeben werden, warum \(\overrightarrow{AB}\) genau auf der Ebene \(F\) senkrecht steht oder welche besondere Lage die Strecke \(HD_a\) im Dreieck \(ABD_a\) hat. Allerdings, wenn \(H\) der Fußpunkt der Höhe von \(D_a\) auf die Ebene \(ABC\) ist, dann impliziert dies, dass \(HD_a\) orthogonal zu dieser Ebene, und somit zu jeder Linie auf der Ebene \(ABC\), einschließlich \(AB\), steht.
Da spezifische Details oder Definitionen von \(H\) fehlen, wird angenommen, dass es sich um einen üblichen Kontext handelt, in dem \(H\) den Fußpunkt der Höhe darstellt, was bedeutet, dass \(HD_a\) die Höhe im Tetraeder ist und somit per Definition senkrecht auf der Ebene \(ABC\) steht, was eine spezielle und signifikante geometrische Beziehung darstellt.
