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Teilbarkeitsrelation | auf \( \mathbb{Z} \): Transitiv, reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder vollständig?
Die Teilbarkeitsrelation wird als \( a | b \) definiert, was bedeutet, dass ein \( q \in \mathbb{Z} \) existiert, sodass \( b = qa \).
Teil a) Untersuchung der Eigenschaften
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Reflexivität:
Eine Relation ist reflexiv, wenn für alle \( a \in \mathbb{Z} \), \( a | a \). Dies ist wahr, da \( a = q \cdot a \) mit \( q = 1 \), und so gilt \( a | a \). Also ist die Teilbarkeitsrelation reflexiv.
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Transitivität:
Eine Relation ist transitiv, wenn für alle \( a, b, c \in \mathbb{Z} \), \( a | b \) und \( b | c \) impliziert \( a | c \). Angenommen \( a | b \) und \( b | c \), dann existieren \( q_1, q_2 \in \mathbb{Z} \), sodass \( b = q_1 \cdot a \) und \( c = q_2 \cdot b \). Ersetzt man \( b \) durch \( q_1 \cdot a \) in der zweiten Gleichung, erhält man \( c = q_2 \cdot (q_1 \cdot a) = (q_1q_2) \cdot a \), was zeigt, dass \( a | c \). Daher ist die Teilbarkeitsrelation transitiv.
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Symmetrie:
Eine Relation ist symmetrisch, wenn für alle \( a, b \in \mathbb{Z} \), \( a | b \) impliziert, dass \( b | a \). Jedoch, wenn \( a | b \), existiert nicht notwendigerweise ein \( q \in \mathbb{Z} \), sodass \( a = q \cdot b \) (z.B. \( 2 | 4 \), aber \( 4 \nmid 2 \)). Deshalb ist die Teilbarkeitsrelation nicht symmetrisch.
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Antisymmetrie:
Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn für alle \( a, b \in \mathbb{Z} \), \( a | b \) und \( b | a \) implizieren, dass \( a = b \). Angenommen \( a | b \) und \( b | a \), dann gibt es \( q_1, q_2 \in \mathbb{Z} \), sodass \( b = q_1 \cdot a \) und \( a = q_2 \cdot b \). Durch Einsetzen erhält man \( a = q_2 \cdot (q_1 \cdot a) \); vereinfacht zu \( 1 = q_1 \cdot q_2 \), was nur wahr ist, wenn \( q_1 = q_2 = 1 \) oder \( q_1 = q_2 = -1 \), was wiederum \( a = b \) oder \( a = -b \) impliziert. Für positive Zahlen \( a \) und \( b \) gilt, dass \( a = b \), was die Antisymmetrie bestätigt. Dennoch, für allgemeine \( \mathbb{Z} \), wenn wir \( a = -b \) bedenken, fasst diese Relation \( a \) und \( -a \) als unterschiedlich auf, was bedeutet, dass in dieser Hinsicht die Teilbarkeitsrelation als antisymmetrisch betrachtet wird, weil bei Betrachtung von \( a | b \) und \( b | a \) tatsächlich \( a = b \) sein muss unter Ausschluss der negativen Äquivalente.
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Vollständigkeit:
Eine Relation ist vollständig, wenn für alle \( a, b \in \mathbb{Z} \), entweder \( a | b \) oder \( b | a \) oder beides. Dies ist offensichtlich nicht der Fall für die Teilbarkeitsrelation, da es viele Paare \( a, b \) gibt, für die weder \( a | b \) noch \( b | a \) gilt (z.B. \( a = 2 \), \( b = 3 \)). Daher ist die Teilbarkeitsrelation nicht vollständig.
Teil b) Untersuchung, ob die Teilbarkeitsrelation eine partielle Ordnung ist
Eine partielle Ordnung ist eine Relation, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.
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(i) Auf \( \mathbb{Z} \): Die Teilbarkeitsrelation ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch auf \( \mathbb{Z} \), daher ist sie eine partielle Ordnung auf \( \mathbb{Z} \).
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(ii) Auf \( \mathbb{N} \): Die Eigenschaften der Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie gelten ebenfalls für \( \mathbb{N} \), die natürlichen Zahlen. Daher ist die Teilbarkeitsrelation auch auf \( \mathbb{N} \) eine partielle Ordnung.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass die Teilbarkeitsrelation auf \( \mathbb{Z} \) und \( \mathbb{N} \) eine partielle Ordnung darstellt, jedoch nicht symmetrisch oder vollständig ist.
