Winkel zwischen Seitenflächen eines Tetraeders berechnen

Question

wir sollen die Aufgabe mit Hilfe von analytischer Geometrie lösen.

Leider weiß ich nicht wie ich anfangen soll, da in den Aufgaben,  die wir bisher gemacht haben, immer konkrete Punkte gegeben waren, mit denen man dann Ebenengleichungen aufstellen konnte. Wie man das hier,  ohne viele Angaben, anstellen soll, weiß ich einfach nicht.

Für Hilfe wäre ich euch sehr dankbar!

Aufgabe:

Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide, bei der alle Seiten gleich lang sind.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen zwei Seitenflächen.

Skizze:

Answer 1

ε = 70.5° (gerundet)

Herleitung unter

http://www.mathematische-basteleien.de/tetraeder.htm

Comments

Wenn du es mit der Analytischen Geometrie machen Willst dann Empfehle ich die Wahl des Tetraeders im Würfel

A(1|0|0)

B(0|1|0)

C(0|0|1)

D(1|1|1)

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Ich musste es mit der analytischen Geometrie machen, da hat man in der Schule leider nicht so eine große Auswahl :D
Das mit dem Würfel hat gut geklappt :)

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In der Aufgabe steht ja nicht explizit die Analytische Geometrie. Es hätte sich hier auch der Kosinussatz angeboten. Ist aber beinahe aufwändiger weil man vorher auch noch die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks berechnen muss.  Man kommt aber auf das gleiche Ergebnis. Mit dem Unterschied, dass diese Methode auch von einem Realschüler bearbeitet werden kann.

Answer 2

Lege den Tetraeder in ein dreidimensionales Koordinatensystem und zwar so, dass eine Tetraederecke (0;0;0) ist und eine Fläche des Tetraeders in der x₁x₂-Ebene liegt. Wähle als Kantenlänge des Tetraeders 1. Die vier Eckpunkte des Tetraeders heißen dann A(0;0;0), B(1;0;0), C(1/2;1/2·√3;0) und D(1/2;1/6·√3;√(2/3)). Je drei dieser Punkte legen eine Tetraederfläche fest, die du in Normalenform angeben musst. Der Winkel zwischen zwei Normalen zweier Tetraederflächen ist der gesuchte.

Comments

Hallo @Ronald!!

Ich hoffe sehr du liest meine Nachricht. Brauche Hilfe!

Wie kommst du auf die Koordinaten von Punkt C?

Das ist ja der 1. Schritt aber ich verstehe nicht, wie man aus A und B, C berechnen kann.

Vielen Dank!!

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C mit Hilfe elementarer, ebener Geometrie (auf der Mittelsenkrechten von AB in der xy-Ebene im Abstand √3/2 von AB) berechnet.

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@Ronald danke für die schnelle Antwort!

Aber ich stehe immernoch auf dem Schlauch... hast du hierfür vielleicht eine konkrete Rechnung?

Ich weiß nicht welche Gleichungen ich für x und y lösen muss

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Die Koordinaten von C werden vor allem mit dem Satz von Pythagoras berechnet:

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Du kannst jedes relevante Mass im Tetraeder mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

ich habe Dir den Tetraeder so im Geoknecht3D eingetragen, wie Roland es vorgeschlagen hat. Nur die Seitenlänge ist nicht 1 sondern 4 Kästchen, sonst wird es zu klein.

Jede der Seitenflächen ist ein gleichseitiges Dreieck. So auch die Grundfläche, die ich hier noch mal extra gezeichnet habe:

Betrachte das Dreieck \(\triangle AMC\). \(s=|AC|=|AB|\) sei die Länge einer Seite und \(h_d=|MC|\) sei die Höhe in diesem Dreieck - dann gilt $$s^2 = \left( \frac s2 \right)^2 + h_d^2 \implies  h_d = \frac 12 \sqrt 3 \, s$$Hier ist das die Y-Koordinate des Punktes \(C\).

Wenn Du nun noch weißt, dass \(S\) der Schwerpunkt bei einem Drittel der Höhe liegt, kannst Du auch die Koordinaten von \(D\) aus dem Dreieck \(\triangle MSD\) berechnen. Versuch' es mal!