Minima sowie Maxima einer e-Funktion | Ableitung von f(x) = (x-1)^{2} · e^{-x}

Question

Aufgabe:

\( f(x)=(x-1)^{2} \cdot e^{-x} \)

Als Ableitung habe ich folgendes raus:

\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=2 x-2 e^{-x}+x^{2}-2 x-e^{-x} \\ &=x^{2}-3 e^{-x} \end{aligned} \)

Ist das erst einmal so richtig?

Answer 1

Hi, nein. Die Ableitung von (x-1)² ist zwar 2x-2, aber du musst natürlich Klammern setzen, also:$$f'(x)=(2x-2)e^{-x}+(x-1)^2\cdot (-1) \cdot e^{-x}=e^{-x}(2x-2-x^2+2x-1)\\ =e^{-x}(-x^2+4x-3) \ .$$

Comments

Danke dir, habe jetzt die Ableitung 0 gesetzt und 3 und 1 als x-Werte rausbekommen.

Das sind dann ja beides Tiefpunkte bzw. Minima, oder?

−x

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Deine x-Werte sind richtig. Du weißt jetzt, dass die Steigung deines Graphen f an den Stellen x=1 und x=3 Null ist. Das kann also jeweils ein Minimum, ein Maximum oder eine Sattelpunkt sein. Um herauszufinden was es ist, brauchst du die zweite Ableitung, in die du dann die einzelnen x-Werte einsetzt. Je nachdem was sich dann ergibt, weißt du was vorliegt: $$f''(x_0)>0: \quad Minimum\\f''(x_0)<0: \quad Maximum\\f''(x_0)=0: \quad Sattelpunkt$$

x₀ steht hierbei für einen Zahlenwert. Du musst also erst 1 und dann 3 für x₀ einsetzen und separat gucken was herauskommt.

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Für 3 habe ich -0.09 raus, also ein Hochpunkt

und für 1 erhalte ich 0,74 also einen Tiefpunkt.

Wie kann ich denn jetzt prüfen, wo die Funktion im Intervall von [0;2] konvex und wo konkav ist?

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Als 2. Ableitung habe ich übrigens e^{-x}*(x²-6x+7) raus. Hoffe das ist richtig.

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@Yukawa

ganz so einfach ich es nicht, bei f ' ' (xo) = 0

kann es trotzdem Hoch oder Tiefpunkt sein.

Probiere es mal mit f(x) = x^4

Das hat bei 0 die ersten 2 (und sogar noch mehr)

Ableitungen = 0 und hat dort einen Tiefpunkt.

Bei f(x) = - x^4 gibt es einen Hochpunkt etc.

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Hi, also deine 2. Ableitung und deine Ergebnisse, dass bei x=1 ein TP und bei x=3 ein HP liegt, sind richtig.

Kurzer Einschub zum Wendepunkt: Tatsächlich habe ich dir was falsches zum Wendepunkt gesagt. Glücklicherweise brauch man Wendepunkte so gut wie nie in der Physik, weil ich tatsächlich bisher dachte, man würde die so berechnen, also vielen Dank fürs aufmerksam machen @mathef. Für einen Wendepunkt muss die erste und zweite Ableitung gleich Null und die dritte Ableitung ungleich Null sein. Da wir das hier aber sowieso nicht haben, ist es für die Aufgabe jetzt auch erstmal egal.

Zum konkav/konvex kann ich gern auch noch was schreiben, auch wenn ich mich damit eigentlich nicht wirklich auskenne. Was konkav/konvex ist weißt du? Zuerst hilft es sowieso sich die Funktion zu zeichnen (da siehst du übrigens auch, dass dein Hoch-/Tiefpunkt stimmt), um zu schauen, was herauskommen wird:

~plot~(x-1)^2*e^(-x);[[-1|10|-0,5|1]]~plot~

Also wenn ich mir den Graphen angucke, würde ich vermuten, dass die Funktion von 0 bis ca. 1,6 konvex und von 1,6 bis 2 konkav ist. Um das mathematisch zu untersuchen, würde ich die zweite Ableitung nehmen und schauen wann diese > 0 (konvex) und wann < 0 (konkav) ist:

$$e^(-x) (7-6 x+x^2) > 0 \\ \Leftrightarrow \quad 7-6 x+x^2 > 0$$

Also wann ist das Polynom zweiten Grades größer als Null? Lösen kannst du das, indem du es gleich Null setzt, also die Schnittstellen mit der x-Achse heraus bekommst und dann in jedem Intervall einfach irgendeinen Wert einsetzt, um zu überprüfen was es ist. Für die Nullstellen erhält man $$x_1=3-\sqrt{2} \approx 1.5858 \quad \quad \quad x_2=3+\sqrt{2} \approx 4.4142 \ .$$ Dein Graph ist also in 3 Intervalle unterteilt, jetzt noch irgendwelche Werte in die 2. Ableitung einsetzen: $$f''(0)=7 >0\\f''(2)\approx -0.14 < 0\\ f''(5) \approx 0.013 > 0$$

und damit gilt

$$[-\infty , 1.5858]: konvex \\ [1.5858, 4.4142]: konkav \\ [4.4142, \infty]: konvex \ .$$

Die Antwort auf dein Teilintervall kannst du dann ja einfach daraus ablesen. :P Hoffe das hilft. Wie gesagt, kenne mich mit konkav/konvex eigentlich nicht aus, also wenn ihr das nicht mit der zweiten Ableitung, sondern irgendwie anders macht, dann frag ruhig.