Aufgabe:
\( A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & -4 & 7 & -8 & -2 \\ 1 & 2 & -3 & 6 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{3,5} \quad \text { und } \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) \)
(a) Überführen Sie die Matrix \( A \) in die normierte Zeilenstufenform. Machen Sie die dabei von Ihnen angewandten elementaren Zeilenumformungen kenntlich.
(b) Bestimmen Sie Kern \( (A) \) sowie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(A) \).
(c) Bestimmen Sie Bild \( (A) \) sowie eine Basis von \( \operatorname{Bild}(A) \).
(d) Überprüfen Sie, ob \( \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \) eine Lösung des Gleichungssystems \( A \vec{x}=\vec{b} \) ist.
(e) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems \( A \vec{x}=\vec{b} \). Geben Sie diese Menge mit Hilfe einer speziellen Lösung und der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS an. Verwenden Sie hierzu Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil (b) und (d).
