Potenzreihe (komplex) holomorph fortsetzbar?

Question

ich soll zeigen, dass die Potenzreihe:

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (\frac { 1 }{ 2 } z) }^{ n } } $$

Auf dem Intervall C\ {2} fortsetzgesetzt werden kann.

Der Konvergenzradius der Reihe ist 2. Damit ist die Reihe holomorph innerhalb des Konvergenzradius.

Kann man jemand sagen, wie ich vorgehen muss, wenn ich das zeigen möchte?

Answer 1

• • Keine Ahnung, ob dir das hier etwas nützt.
  • https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Fortsetzung
    
  • " Wenn die abgeschlossene Hülle einer unendlichen Menge  zusammenhängend, also zum Beispiel ein reelles Intervall ist und eine analytische Fortsetzung  von  auf ein Gebiet  existiert, dann stimmt eine zweite auf  holomorphe Funktion  bereits dann mit der Fortsetzung  überein,
  • wenn sie mit  auf einer unendlichen Teilmenge von , die sich in  häuft, übereinstimmt oder
  • wenn in irgendeinem festen Punkt von  die Funktionswerte und alle Ableitungen von  und  übereinstimmen. " ENDE ZITAT
  
  Es folgt ein Beispiel.  und du kannst doch die Summe mal als geometrische Reihe ansehen und in einen Bruchterm verwandeln.

Comments

das ist doch eine geometrische Reihe, die eine geschlossene Darstellung hat - und das ist dann die Fortsetzung.

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Das meinte ich eigentlich.

Also f(z) = 1/( 1 -z/2) = 2/(2-z)  . (?)

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Ich habe doch in der Summe stehen (1/2*z)^n = (1/2)^n * z^n

Dann habe ich eine geometrische Reihe?

Muss ich in der Summe nicht q^n mit 0<q<1 stehen haben,damit ich eine geometrische Reihe habe?

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Du kannst doch

q = z/2

nehmen. Oder: Warum nicht?

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Wenn z  zb. größer als 2 im Realteil ist, dann habe ich die Bedingung für die geometrische Reihe nicht erfüllt.

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Aber als Fortsetzung könnte das gehen, wenn ich pwm richtig verstehe.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28+1+-z%2F2%29 

Übrigens würde ich C\{2} nicht als Intervall bezeichnen.

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Ah okay, also ist mit der analytischen Forsetzung gemeint, dass ich eine Funktion für eine Teilmenge aller möglchen z ( hier |z|<2 von Interesse)  finde, die mit der Reihe übereinstimmt.

Sehe grade auch ein, für |z|>2 divigiert die Reihe ja auch, also kann ich da gar keine andere Darstellung finden.

Dankesehr :)

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Ah und wegen dem "Intervall" :

Ich wollte eigentlich schreiben: " auf C\{2} "

Weiß auch nicht, wieso ist das so geschrieben habe.

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Bitte. Gern geschehen!

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